Math
Trancher une surface
Coupe une surface par un plan vertical et tu obtiens une courbe ; sa pente est la dérivée dans cette direction. Trace la pente en coordonnées polaires : pour une surface différentiable c'est exactement un cercle dont le gradient est le diamètre. Et une surface ici possède les deux dérivées partielles, une dérivée directionnelle dans toute direction, et aucun plan tangent.
Ce qui se passe
Fixez y, avancez selon x, et une surface devient une courbe avec une pente ordinaire : c'est une dérivée partielle, et il y en a une pour chaque direction où vous refusez de bouger. Avancez dans toute autre direction et la pente est la dérivée directionnelle ; sur une surface lisse c'est le gradient fois la direction - mais la formule porte deux conditions. La direction doit être un vecteur unitaire, et la surface doit être différentiable, ce qui est plus qu'avoir des partielles : un cône a une dérivée directionnelle dans toute direction à son sommet et la formule est fausse pour toutes sauf deux. Tournez la direction, regardez la tranche et sa pente, puis essayez le cône.
Équations du module
Équations f_x, f_y : pentes des deux tranches alignées sur les axes D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t le long du vecteur unitaire u D_u f = ∇f · u - seulement pour u unitaire et seulement là où f est différentiable le cône f = xy/√(x² + y²) : chaque D_u existe en 0, la formule échoue
