Math

Cortar una superficie

Corta una superficie con un plano vertical y obtienes una curva; su pendiente es la derivada en esa dirección. Traza la pendiente en coordenadas polares: en una superficie diferenciable eso es exactamente una circunferencia con el gradiente como diámetro. Y una superficie de aquí tiene ambas derivadas parciales, derivada direccional en toda dirección, y ningún plano tangente.

Por Mykhailo Makarov

Imagen real de la aplicación

Qué ocurre

Fija y, camina a lo largo de x, y una superficie se vuelve una curva con pendiente ordinaria: eso es una derivada parcial, y hay una por cada dirección en la que te niegas a moverte. Camina en cualquier otra dirección y la pendiente es la derivada direccional; en una superficie suave es el gradiente por la dirección, pero la fórmula lleva dos condiciones. La dirección debe ser un vector unitario y la superficie debe ser diferenciable, que es más que tener parciales: un cono tiene derivada direccional en toda dirección en su vértice y la fórmula falla en todas salvo dos. Gira la dirección, mira el corte y su pendiente, luego prueba el cono.

Ecuaciones del módulo

Ecuaciones
f_x, f_y: pendientes de los dos cortes alineados con los ejes
D_u f = lim (f(p + tu) − f(p))/t a lo largo de u unitario
D_u f = ∇f · u  - solo para u unitario y solo donde f es diferenciable
el cono f = xy/√(x² + y²): todo D_u existe en 0, la fórmula falla

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