Math

Интеграл, собранный руками

Заполни область под кривой прямоугольниками и смотри, как растёт их число: всё решает то, откуда каждый берёт высоту, и трапеция, идущая по кривой, ровно вдвое хуже прямоугольника со средней точкой, который по ней не идёт. Затем знак: интеграл синуса за период равен нулю, а площадь между ним и осью — четырём. И накопленная функция, чей наклон равен исходной кривой — везде, кроме места, где кривая прыгает: там у неё излом.

Автор — Mykhailo Makarov

Изображение из программы

Что происходит

Нарежьте отрезок на полоски, задайте каждой высоту, сложите — это интеграл до всяких правил для первообразных, и панель строит его полоска за полоской. Левая и правая высоты ошибаются пропорционально ширине полоски; середина и трапеция — как её квадрат, в противоположные стороны, так что истина зажата между ними; две части середины на одну часть трапеции — правило Симпсона, точное на любом кубе. Ниже накопленная сумма рисует первообразную, и её наклон — сама функция: основная теорема увидена, а не доказана. Меняйте правило и число полосок и читайте ошибку против точной площади.

Уравнения модуля

Уравнения
сумма Римана: n столбиков ширины h, на каждом задаётся высота, всё складывается
левых/правых прямоугольников: ошибка ~ h;  средних точек ~ h² с +h²(b−a)f''/24;  трапеций ~ h² с −h²(b−a)f''/12
Симпсон = (2·средняя точка + трапеция)/3:  погрешность ~ h⁴, точен для кубических многочленов
F(x) = ∫ f от a до x,  F' = f

Другие эксперименты

К каталогу

Math

Сколько места занимает клетка

Смени переменные в интеграле — появится множитель; писать r dr dθ учат всех, а откуда берётся это r, показывают немногим. Это определитель производной отображения — отношение площади крохотной клетки к площади её образа, измеренное здесь на самих многоугольниках. Три вещи, которыми этот определитель не является: знак есть ориентация, а не часть множителя; нулевой определитель означает схлопнувшееся ребро, а не мелкие клетки; и интеграл |det J| равен площади образа только при однократном покрытии. z → z² накрывает единичный круг дважды, и сумма ошибается ровно вдвое.

Math

Границы вместо оценок

Всякий другой способ счёта даёт число, которое, скорее всего, верно. Интервальная арифметика даёт пару, которая верна наверняка, и весь предмет — во сколько это обходится. Обходится в резкость, и у платы есть имя: всякое вхождение переменной считается отдельной переменной, поэтому x − x выходит интервалом шириной в две единицы. А значит, охват есть свойство ФОРМУЛЫ, а не функции: перепиши x(1 − x) как 0.25 − (x − 0.5)² — ширина упадёт с единицы до истинных 0.25; напиши x·x вместо x² в 1/(1 + 25x²) — ответом станет вся вещественная прямая.

Math

Разрежь поверхность

Разрежь поверхность вертикальной плоскостью — получишь кривую, и её наклон есть производная в этом направлении. Поворачивай плоскость, следя за наклоном, а потом отложи его в полярных координатах: у дифференцируемой поверхности это ровно окружность с градиентом в качестве диаметра, и «градиент показывает вверх» перестаёт быть утверждением и становится картинкой. А одна поверхность здесь имеет обе частные производные, направленную производную по каждому направлению — и никакой касательной плоскости: формула ∇f·u предсказывает ноль, пока поверхность поднимается со скоростью 0,385.