Math
L'intégrale, construite à la main
Remplis la région sous une courbe avec des bandes et regarde leur nombre croître : tout dépend d'où chaque bande prend sa hauteur, et le trapèze qui suit la courbe est exactement deux fois pire que le rectangle du milieu qui ne la suit pas. Puis le signe : l'intégrale du sinus sur une période vaut zéro et l'aire entre lui et l'axe vaut quatre.
Ce qui se passe
Découpez l'intervalle en bandes, donnez une hauteur à chacune, additionnez - c'est une intégrale avant toute règle de primitives, et ce panneau la construit bande par bande. Les hauteurs gauche et droite se trompent proportionnellement à la largeur de la bande ; milieu et trapèze comme son carré, en sens opposés, si bien que la vérité est encadrée entre eux ; deux parts de milieu pour une de trapèze, c'est la règle de Simpson, exacte sur toute cubique. En dessous, le total courant dessine la primitive, et sa pente est la fonction - le théorème fondamental vu plutôt que démontré. Changez la règle et le nombre de bandes et lisez l'erreur face à l'aire exacte.
Équations du module
Équations somme de Riemann : n rectangles de largeur h, une hauteur sur chacun, additionner gauche/droite : erreur ~ h ; point milieu ~ h² avec +h²(b−a)f''/24 ; trapèze ~ h² avec −h²(b−a)f''/12 Simpson = (2·point milieu + trapèze)/3 : erreur ~ h⁴, exacte pour les polynômes cubiques F(x) = ∫ f de a à x, F' = f
