Math
Los primos a partir de los ceros de zeta
La fórmula explícita de Riemann: la escalera de los primos es una suma de ondas, una por cada cero de la función zeta. Añade los ceros de uno en uno y mira cómo una recta se riza hasta convertirse en los primos, cada escalón en una potencia de primo y de altura ln p. Debajo, la recta crítica; los primeros 120 ceros como datos; el residuo frente a la criba medido por cero.
Qué ocurre
Cuenta los primos con peso: la ψ(x) de Chebyshev sube ln p en cada potencia de primo p, p², p³ - una escalera, dorada, exacta, salida de una criba. Riemann descubrió que esa misma escalera es una suma de ondas. Parte de la recta desnuda x − ln 2π; por cada cero ρ = ½ + iγ de la función zeta resta la onda 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), y la recta se inclina y se riza. Añade más ceros y las ondulaciones se ordenan en escalones - exactamente en las potencias de primos, cada uno exactamente de ln p - porque la fórmula no es una aproximación sino una identidad: con todos los ceros dentro, ES la escalera. Míralo ocurrir. La escena mete los ceros de uno en uno, con la onda más reciente dibujada aparte bajo la gráfica para ver qué aporta cada una: el primer cero, γ = 14,13, es la ondulación más larga y lenta; el centésimo, un temblor fino. La distancia RMS de la línea cian a la escalera, medida en 980 puntos fuera de los saltos, cae de 1,57 sin ceros a 0,46 con ciento veinte - despacio, porque cada onda se encoge solo como 1/γ, y esa lentitud es el hecho más profundo de la pantalla: cuán cerca están los primos de una línea suave lo decide dónde están los ceros. La hipótesis de Riemann dice que todos están sobre la recta ½ + it; la franja inferior dibuja esa recta, Z(t), con los ceros de la tabla como puntos en sus cambios de signo. Los ceros vienen de un cálculo a veinte cifras; la línea la dibuja la fórmula de Riemann–Siegel, que el módulo midió a una centésima de la verdad y así lo dice. ¿Cuántos ceros hasta T? Riemann también los contó: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 - 119,5 en el centésimo vigésimo, con un error de medio, y ese medio es lo que nadie ha domado.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones
escalera: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Chebyshev; a partir de una criba hasta 400)
fórmula explícita: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ sobre ambas mitades de la banda
la onda de un cero: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); amplitud 2√x/|ρ|
ceros: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 dígitos, |ζ(½ + iγ)| por debajo de 1e-13)
residuo: RMS de ψ_N − ψ en 980 puntos de [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
escalones: ψ₁₂₀ sube 1.910 al cruzar x = 7 (ln 7 = 1.946), 0.723 al cruzar 8 (ln 2 = 0.693), 0.042 al cruzar 6 (ninguna potencia de primo)
recta crítica: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
precisión de Z (medida): 1.1e-2 en [10, 100], 3.8e-3 en [100, 250]; |Z| en los ceros de la tabla ≤ 1.1e-2
recuento: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 en γ₁₂₀, el resto es S(T)
