Math
La derivada bajo el microscopio
Amplía una curva suave con la escala vertical atada a la horizontal y se endereza: eso es la derivada, y la secante por dos puntos se acuesta sobre la tangente. Después la misma lupa sobre una esquina, una cúspide y una curva cuyo cociente incremental no se asienta en nada: tres fracasos distintos. Y lo que nadie cuenta: en coma flotante un paso más pequeño deja de ayudar cerca de 1e-8 y luego empeora la respuesta.
Qué ocurre
Amplía bastante una gráfica suave y deja de parecer curva: eso dice la derivada, y este módulo es el microscopio. Acércate a un punto y la gráfica se endereza en su tangente; reduce la ventana a la mitad y la curvatura restante cae a un cuarto. Acércate a un pico y nunca se endereza: |x| conserva dos pendientes, x^(2/3) una vertical, una ondulación sigue ondulada a cualquier escala. Luego calcula la pendiente numéricamente y encuentra el otro límite: reduce h demasiado y el error de redondeo manda, así que hay un h óptimo y no es cero. Prueba las funciones, amplía, y lee dónde el cociente incremental deja de mejorar.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h linealidad local: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 en |s| ≤ w diferencia hacia adelante: error ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h diferencia central: error ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h, ε = 2.2e−16
