Math
Pochodna pod mikroskopem
Przybliż gładką krzywą z pionową skalą związaną z poziomą, a wyprostuje się: to właśnie jest pochodna, a sieczna przez dwa punkty kładzie się na styczną. Potem ta sama lupa na narożnik, ostrze i krzywą, której iloraz różnicowy nie ustala się na niczym - trzy różne sposoby zawodzenia. I to, czego nikt nie mówi: w zmiennym przecinku mniejszy krok przestaje pomagać około 1e-8, a potem pogarsza wynik.
Co się dzieje
Powiększ gładki wykres dostatecznie, a przestanie wyglądać na zakrzywiony - to właśnie mówi pochodna, a ten moduł jest mikroskopem. Najedź na punkt, a wykres prostuje się w styczną; zmniejsz okno o połowę, a pozostałe zakrzywienie spada czterokrotnie. Najedź na załamanie, a nigdy się nie wyprostuje: |x| trzyma dwa nachylenia, x^(2/3) pionowe, falka pozostaje falista w każdej skali. Potem policz nachylenie numerycznie i spotkaj drugą granicę - zmniejsz h za bardzo, a górę bierze błąd zaokrąglenia, więc istnieje najlepsze h i nie jest nim zero. Wypróbuj funkcje, powiększaj i odczytaj, gdzie iloraz różnicowy przestaje się poprawiać.
Równania modułu
Równania f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h liniowość lokalna: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 na |s| ≤ w iloraz różnicowy w przód: błąd ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h iloraz różnicowy centralny: błąd ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h, ε = 2.2e−16
