Math

Die Ableitung unter dem Mikroskop

Zoom auf eine glatte Kurve, mit der vertikalen Skala an die horizontale gekoppelt, und sie wird gerade: das ist die Ableitung, und die Sekante durch zwei Punkte legt sich auf die Tangente. Dann dieselbe Lupe auf Ecke, Spitze und eine Kurve, deren Differenzenquotient sich auf nichts einpendelt - drei verschiedene Arten zu scheitern. Und der Teil, den niemand erzählt: in Gleitkomma hilft ein kleinerer Schritt ab etwa 1e-8 nicht mehr, sondern schadet.

Von Mykhailo Makarov

Bild aus der Anwendung

Was passiert

Vergrößere einen glatten Graphen genug, und er sieht nicht mehr gekrümmt aus - das sagt die Ableitung, und dieses Modul ist das Mikroskop. Zoome auf einen Punkt, und der Graph streckt sich zur Tangente; halbiere das Fenster, und die restliche Krümmung fällt auf ein Viertel. Zoome auf einen Knick, und er streckt sich nie: |x| behält zwei Steigungen, x^(2/3) eine senkrechte, eine Welle bleibt in jedem Maßstab wellig. Dann berechne die Steigung numerisch und triff die andere Grenze - verkleinere h zu weit, und der Rundungsfehler übernimmt, es gibt also ein bestes h, und es ist nicht null. Probiere die Funktionen, zoome, und lies ab, wo der Differenzenquotient aufhört, besser zu werden.

Gleichungen des Moduls

Gleichungen
f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h
lokale Linearität: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 auf |s| ≤ w
Vorwärtsdifferenz: Fehler ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h
zentrale Differenz: Fehler ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h,  ε = 2.2e−16

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