Math
La derivata al microscopio
Ingrandisci una curva liscia con la scala verticale legata a quella orizzontale e si raddrizza: questa è la derivata, e la secante per due punti si adagia sulla tangente. Poi la stessa lente su uno spigolo, una cuspide e una curva il cui rapporto incrementale non si assesta su nulla: tre modi diversi di fallire. E la parte che nessuno racconta: in virgola mobile un passo più piccolo smette di aiutare vicino a 1e-8 e poi peggiora la risposta.
Cosa succede
Ingrandisci abbastanza un grafico liscio e smette di sembrare curvo - è ciò che dice la derivata, e questo modulo è il microscopio. Zooma su un punto e il grafico si raddrizza nella sua tangente; dimezza la finestra e la curvatura residua cala di quattro volte. Zooma su uno spigolo e non si raddrizza mai: |x| tiene due pendenze, x^(2/3) una verticale, un'ondulazione resta ondulata a ogni scala. Poi calcola la pendenza numericamente e incontra l'altro limite - riduci h troppo e l'errore di arrotondamento prende il sopravvento, così c'è un h migliore e non è zero. Prova le funzioni, zooma, e leggi dove il rapporto incrementale smette di migliorare.
Equazioni del modulo
Equazioni f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h linearità locale: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 su |s| ≤ w differenza in avanti: errore ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h differenza centrata: errore ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h, ε = 2.2e−16
