Math
La dérivée au microscope
Zoome sur une courbe lisse avec l'échelle verticale liée à l'horizontale et elle se redresse : c'est cela, la dérivée, et la sécante par deux points se couche sur la tangente. Puis la même loupe sur un coin, un point de rebroussement et une courbe dont le taux d'accroissement ne se fixe sur rien - trois échecs différents. Et ce que personne ne dit : en virgule flottante, un pas plus petit cesse d'aider vers 1e-8 puis dégrade la réponse.
Ce qui se passe
Agrandissez assez un graphe lisse et il cesse de paraître courbe - c'est ce que dit la dérivée, et ce module est le microscope. Zoomez sur un point et le graphe se redresse en sa tangente ; divisez la fenêtre par deux et la courbure restante tombe par quatre. Zoomez sur un pli et il ne se redresse jamais : |x| garde deux pentes, x^(2/3) une pente verticale, une ondulation reste ondulée à toute échelle. Puis calculez la pente numériquement et rencontrez l'autre limite - réduisez h trop loin et l'erreur d'arrondi prend le dessus ; il y a donc un meilleur h, et ce n'est pas zéro. Essayez les fonctions, zoomez, et lisez où le taux d'accroissement cesse de s'améliorer.
Équations du module
Équations f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h linéarité locale : max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 sur |s| ≤ w différence avant : erreur ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h différence centrée : erreur ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h, ε = 2.2e−16
