Math

Производная под микроскопом

Приблизь гладкую кривую, заперев вертикальный масштаб на горизонтальном, — и она выпрямится: это и есть производная, а секущая через две точки ложится на касательную по мере их схождения. Затем та же лупа на излом, остриё и кривую, у которой разностное отношение ни к чему не сходится, — три разных отказа, нарисованные двумя касательными, вертикальной и никакой. И то, о чём не говорят: в плавающей точке шаг перестаёт помогать около 1e-8 и дальше делает ответ хуже, потому что вычитание двух почти равных чисел выбрасывает те самые цифры, которые несли ответ.

Автор — Mykhailo Makarov

Изображение из программы

Что происходит

Увеличьте гладкий график достаточно — и он перестанет выглядеть кривым: это и говорит производная, а модуль — микроскоп. Наведитесь на точку — график выпрямляется в касательную; уменьшите окно вдвое — оставшийся изгиб падает вчетверо. Наведитесь на излом — он не выпрямится никогда: |x| держит два наклона, x^(2/3) — вертикальный, извилина остаётся извилистой в любом масштабе. Потом вычислите наклон численно и встретьте другой предел: уменьшите h слишком сильно — и верх берёт ошибка округления, так что лучший h есть, и это не ноль. Попробуйте функции, увеличивайте и прочтите, где разностное отношение перестаёт улучшаться.

Уравнения модуля

Уравнения
f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h
локальная линейность: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 при |s| ≤ w
разность вперёд: ошибка ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h
центральная разность: ошибка ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h,  ε = 2.2e−16

Другие эксперименты

К каталогу

Math

Интеграл, собранный руками

Заполни область под кривой прямоугольниками и смотри, как растёт их число: всё решает то, откуда каждый берёт высоту, и трапеция, идущая по кривой, ровно вдвое хуже прямоугольника со средней точкой, который по ней не идёт. Затем знак: интеграл синуса за период равен нулю, а площадь между ним и осью — четырём. И накопленная функция, чей наклон равен исходной кривой — везде, кроме места, где кривая прыгает: там у неё излом.

Math

Сколько места занимает клетка

Смени переменные в интеграле — появится множитель; писать r dr dθ учат всех, а откуда берётся это r, показывают немногим. Это определитель производной отображения — отношение площади крохотной клетки к площади её образа, измеренное здесь на самих многоугольниках. Три вещи, которыми этот определитель не является: знак есть ориентация, а не часть множителя; нулевой определитель означает схлопнувшееся ребро, а не мелкие клетки; и интеграл |det J| равен площади образа только при однократном покрытии. z → z² накрывает единичный круг дважды, и сумма ошибается ровно вдвое.

Math

Границы вместо оценок

Всякий другой способ счёта даёт число, которое, скорее всего, верно. Интервальная арифметика даёт пару, которая верна наверняка, и весь предмет — во сколько это обходится. Обходится в резкость, и у платы есть имя: всякое вхождение переменной считается отдельной переменной, поэтому x − x выходит интервалом шириной в две единицы. А значит, охват есть свойство ФОРМУЛЫ, а не функции: перепиши x(1 − x) как 0.25 − (x − 0.5)² — ширина упадёт с единицы до истинных 0.25; напиши x·x вместо x² в 1/(1 + 25x²) — ответом станет вся вещественная прямая.