Math
Похідна під мікроскопом
Наблизь гладку криву, зачепивши вертикальний масштаб за горизонтальний, — і вона випрямиться: це і є похідна, а січна через дві точки лягає на дотичну. Потім та сама лупа на злам, вістря й криву, чиє різницеве відношення ні до чого не сходиться, — три різні відмови. І те, про що не кажуть: у рухомій комі менший крок перестає допомагати біля 1e-8 і далі робить відповідь гіршою.
Що відбувається
Збільште гладкий графік достатньо — і він перестане виглядати кривим: це і каже похідна, а модуль — мікроскоп. Наведіться на точку — графік випрямляється в дотичну; зменште вікно вдвічі — залишковий вигин падає вчетверо. Наведіться на злам — він не випрямиться ніколи: |x| тримає два нахили, x^(2/3) — вертикальний, звивина лишається звивистою в будь-якому масштабі. Потім обчисліть нахил чисельно й зустріньте іншу межу: зменшіть h надто сильно — і гору бере похибка округлення, тож найкраще h є, і це не нуль. Спробуйте функції, збільшуйте і прочитайте, де різницеве відношення перестає покращуватися.
Рівняння модуля
Рівняння f'(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h локальна лінійність: max |f(x+s) − f(x) − f'(x)s| ≤ w²|f''|/2 на |s| ≤ w різниця вперед: похибка ~ h|f''|/2 + 2ε|f|/h центральна різниця: похибка ~ h²|f'''|/6 + ε|f|/h, ε = 2.2e−16
