Math
I numeri primi dagli zeri della zeta
La formula esplicita di Riemann: la scala dei numeri primi è una somma di onde, una per ogni zero della funzione zeta. Aggiungi gli zeri uno alla volta e guarda una retta incresparsi fino a diventare i primi, ogni gradino a una potenza di primo e alto ln p. Sotto, la retta critica; i primi 120 zeri come dati; il residuo contro il crivello misurato zero per zero.
Cosa succede
Conta i primi con un peso: la ψ(x) di Čebyšëv sale di ln p a ogni potenza di primo p, p², p³ - una scala, dorata, esatta, uscita da un crivello. Riemann scoprì che quella stessa scala è una somma di onde. Parti dalla retta nuda x − ln 2π; per ogni zero ρ = ½ + iγ della funzione zeta sottrai l'onda 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), e la retta si inclina e si increspa. Aggiungi altri zeri e le increspature si ordinano in gradini - esattamente alle potenze di primi, ciascuno esattamente alto ln p - perché la formula non è un'approssimazione ma un'identità: con tutti gli zeri dentro, È la scala. Guardalo accadere. La scena mette gli zeri uno alla volta, con l'onda più recente disegnata a parte sotto il grafico per vedere cosa porta ciascuna: il primo zero, γ = 14,13, è l'increspatura più lunga e lenta; il centesimo, un tremito sottile. La distanza RMS della linea ciano dalla scala, misurata su 980 punti fuori dai salti, scende da 1,57 senza zeri a 0,46 con centoventi - lentamente, perché ogni onda si riduce solo come 1/γ, e questa lentezza è il fatto più profondo sullo schermo: quanto i primi stiano vicini a una linea liscia lo decide dove stanno gli zeri. L'ipotesi di Riemann dice che stanno tutti sulla retta ½ + it; la striscia in basso disegna quella retta, Z(t), con gli zeri della tabella come punti ai suoi cambi di segno. Gli zeri vengono da un calcolo a venti cifre; la linea è tracciata dalla formula di Riemann–Siegel, che il modulo ha misurato a un centesimo dal vero e lo dice. Quanti zeri fino a T? Riemann contò anche quelli: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 - 119,5 al centoventesimo, sbagliato di mezzo, e quel mezzo è ciò che nessuno ha domato.
Equazioni del modulo
Equazioni
funzione a gradini: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Chebyshev; da un crivello fino a 400)
formula esplicita: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ su entrambe le metà della striscia
l'onda di uno zero: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); ampiezza 2√x/|ρ|
zeri: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 cifre, |ζ(½ + iγ)| sotto 1e-13)
residuo: RMS di ψ_N − ψ su 980 punti di [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
gradini: ψ₁₂₀ sale di 1.910 attraverso x = 7 (ln 7 = 1.946), di 0.723 attraverso 8 (ln 2 = 0.693), di 0.042 attraverso 6 (nessuna potenza di un primo)
retta critica: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
precisione di Z (misurata): 1.1e-2 su [10, 100], 3.8e-3 su [100, 250]; |Z| negli zeri tabulati ≤ 1.1e-2
conteggio: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 in γ₁₂₀, il resto è S(T)
