Math
Liczby pierwsze z zer funkcji dzeta
Wzór jawny Riemanna: schody liczb pierwszych to suma fal, po jednej na każde zero funkcji dzeta. Dodawaj zera po jednym i patrz, jak prosta marszczy się w liczby pierwsze - każdy stopień na potędze liczby pierwszej i wysokości ln p. Poniżej prosta krytyczna, pierwsze 120 zer jako dane, reszta względem sita zmierzona dla każdego zera.
Co się dzieje
Licz liczby pierwsze z wagą: ψ(x) Czebyszewa rośnie o ln p przy każdej potędze liczby pierwszej p, p², p³ - schody, złote, dokładne, z sita. Riemann odkrył, że te same schody są sumą fal. Zacznij od gołej prostej x − ln 2π; dla każdego zera ρ = ½ + iγ funkcji dzeta odejmij falę 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), a prosta przechyli się i zmarszczy. Dodaj więcej zer, a zmarszczki ułożą się w stopnie - dokładnie na potęgach liczb pierwszych, każdy dokładnie o wysokości ln p - bo wzór nie jest przybliżeniem, lecz tożsamością: ze wszystkimi zerami on JEST schodami. Patrz, jak to się dzieje. Scena wkłada zera po jednym, a najnowszą falę rysuje osobno pod wykresem, by było widać, co wnosi każda: pierwsze zero, γ = 14,13, to najdłuższa i najwolniejsza zmarszczka; setne - drobne drżenie. Odległość RMS niebieskiej linii od schodów, mierzona w 980 punktach poza skokami, spada z 1,57 bez zer do 0,46 przy stu dwudziestu - powoli, bo każda fala maleje tylko jak 1/γ, a ta powolność to najgłębszy fakt na ekranie: jak blisko gładkiej linii leżą liczby pierwsze, rozstrzyga to, gdzie stoją zera. Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie leżą na prostej ½ + it; dolny pas rysuje tę prostą, Z(t), z zerami z tabeli jako punktami tam, gdzie zmienia znak. Zera pochodzą z obliczenia na dwadzieścia cyfr; linię rysuje wzór Riemanna–Siegela, który moduł zmierzył z dokładnością do setnej i tak mówi. Ile zer do T? Riemann policzył i to: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 - 119,5 przy sto dwudziestym, błąd o pół, a to pół jest tym, czego nikt nie okiełznał.
Równania modułu
Równania
schody: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Czebyszew; z sita do 400)
wzór jawny: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ po obu połowach pasa
fala jednego zera: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); amplituda 2√x/|ρ|
zera: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 cyfr, |ζ(½ + iγ)| poniżej 1e-13)
reszta: błąd średniokwadratowy RMS ψ_N − ψ na 980 punktach z [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
stopnie: ψ₁₂₀ rośnie o 1.910 przy x = 7 (ln 7 = 1.946), o 0.723 przy 8 (ln 2 = 0.693), o 0.042 przy 6 (brak potęgi liczby pierwszej)
prosta krytyczna: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
dokładność Z (zmierzona): 1.1e-2 na [10, 100], 3.8e-3 na [100, 250]; |Z| w zerach z tabeli ≤ 1.1e-2
liczba zer: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 w γ₁₂₀, reszta to S(T)
