Math
Die Primzahlen aus den Nullstellen der Zetafunktion
Riemanns explizite Formel: die Primzahltreppe ist eine Summe von Wellen, eine je Nullstelle der Zetafunktion. Füge die Nullstellen eine nach der anderen hinzu und sieh, wie eine Gerade sich zu den Primzahlen kräuselt - jede Stufe bei einer Primzahlpotenz und ln p hoch. Darunter die kritische Gerade, die ersten 120 Nullstellen als Daten, das Residuum gegen das Sieb je Nullstelle gemessen.
Was passiert
Zähle die Primzahlen mit Gewicht: Tschebyschows ψ(x) steigt um ln p an jeder Primzahlpotenz p, p², p³ - eine Treppe, golden, exakt, aus einem Sieb. Riemann fand, dass dieselbe Treppe eine Summe von Wellen ist. Beginne mit der nackten Geraden x − ln 2π; ziehe für jede Nullstelle ρ = ½ + iγ der Zetafunktion die Welle 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²) ab, und die Gerade kippt und kräuselt sich. Nimm mehr Nullstellen, und die Kräuselung ordnet sich zu Stufen - genau bei den Primzahlpotenzen, jede genau ln p hoch -, denn die Formel ist keine Näherung, sondern eine Identität: mit allen Nullstellen IST sie die Treppe. Sieh zu, wie es geschieht. Die Szene legt die Nullstellen eine nach der anderen hinein, die neueste Welle für sich unter dem Plot, damit man sieht, was jede beiträgt: die erste Nullstelle, γ = 14,13, ist die längste, langsamste Welle; die hundertste ein feines Zittern. Der RMS-Abstand der cyanfarbenen Linie von der Treppe, gemessen an 980 Punkten abseits der Sprünge, fällt von 1,57 ohne Nullstellen auf 0,46 mit hundertzwanzig - langsam, weil jede Welle nur wie 1/γ schrumpft, und diese Langsamkeit ist die tiefste Tatsache auf dem Bildschirm: wie nah die Primzahlen an einer glatten Linie liegen, entscheidet die Lage der Nullstellen. Riemanns Vermutung sagt, sie liegen alle auf der Geraden ½ + it; der untere Streifen zeichnet diese Gerade, Z(t), mit den Nullstellen der Tabelle als Punkte an ihren Vorzeichenwechseln. Die Nullstellen stammen aus einer Rechnung mit zwanzig Stellen; die Linie zeichnet die Riemann-Siegel-Formel, die das Modul auf ein Hundertstel der Wahrheit gemessen hat und das auch sagt. Wie viele Nullstellen bis T? Auch das hat Riemann gezählt: T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 - 119,5 bei der hundertzwanzigsten, um ein Halb daneben, und dieses Halb ist, was niemand gezähmt hat.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen
Treppe: ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Tschebyschow; aus einem Sieb bis 400)
explizite Formel: ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ über beide Hälften des Streifens
die Welle einer Nullstelle: 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²); Amplitude 2√x/|ρ|
Nullstellen: γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 Stellen, |ζ(½ + iγ)| unter 1e-13)
Residuum: RMS von ψ_N − ψ auf 980 Punkten von [2, 100]: N = 0: 1.571, 10: 0.990, 50: 0.641, 120: 0.456
Stufen: ψ₁₂₀ steigt um 1.910 bei x = 7 (ln 7 = 1.946), um 0.723 bei 8 (ln 2 = 0.693), um 0.042 bei 6 (keine Primzahlpotenz)
kritische Gerade: Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
Genauigkeit von Z (gemessen): 1.1e-2 auf [10, 100], 3.8e-3 auf [100, 250]; |Z| an den Tabellennullstellen ≤ 1.1e-2
Anzahl: N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8: 119.48 bei γ₁₂₀, der Rest ist S(T)
