Math
Les nombres premiers à partir des zéros de zêta
La formule explicite de Riemann : l'escalier des nombres premiers est une somme d'ondes, une par zéro de la fonction zêta. Ajoute les zéros un à un et regarde une droite se rider jusqu'à devenir les nombres premiers, chaque marche à une puissance de premier et haute de ln p. En dessous, la droite critique ; les 120 premiers zéros comme données ; le résidu contre le crible mesuré zéro par zéro.
Ce qui se passe
Compte les nombres premiers avec un poids : le ψ(x) de Tchebychev monte de ln p à chaque puissance de premier p, p², p³ - un escalier, doré, exact, sorti d'un crible. Riemann a découvert que ce même escalier est une somme d'ondes. Pars de la droite nue x − ln 2π ; pour chaque zéro ρ = ½ + iγ de la fonction zêta retranche l'onde 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²), et la droite s'incline et se ride. Ajoute d'autres zéros et les rides s'organisent en marches - exactement aux puissances de premiers, chacune exactement haute de ln p - parce que la formule n'est pas une approximation mais une identité : avec tous les zéros, elle EST l'escalier. Regarde-le se faire. La scène pose les zéros un à un, l'onde la plus récente tracée à part sous le graphe pour qu'on voie ce que chacune apporte : le premier zéro, γ = 14,13, est la ride la plus longue et la plus lente ; le centième, un fin tremblement. La distance RMS de la ligne cyan à l'escalier, mesurée en 980 points hors des sauts, tombe de 1,57 sans zéro à 0,46 avec cent vingt - lentement, car chaque onde ne décroît que comme 1/γ, et cette lenteur est le fait le plus profond de l'écran : à quel point les premiers restent près d'une ligne lisse, c'est la place des zéros qui le décide. L'hypothèse de Riemann dit qu'ils sont tous sur la droite ½ + it ; la bande du bas trace cette droite, Z(t), avec les zéros de la table en points à ses changements de signe. Les zéros viennent d'un calcul à vingt chiffres ; la ligne est tracée par la formule de Riemann–Siegel, que le module a mesurée à un centième de la vérité et le dit. Combien de zéros jusqu'à T ? Riemann les a comptés aussi : T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 - 119,5 au cent vingtième, à un demi près, et ce demi est ce que personne n'a dompté.
Équations du module
Équations
escalier : ψ(x) = Σ_{p^k ≤ x} ln p (Tchebychev ; d'après un crible jusqu'à 400)
formule explicite : ψ₀(x) = x − Σ_ρ x^ρ/ρ − ln 2π − ½ ln(1 − 1/x²), ρ = ½ + iγ sur les deux moitiés de la bande
l'onde d'un zéro : 2 Re(x^ρ/ρ) = 2√x·(cos(γ ln x)/2 + γ sin(γ ln x))/(¼ + γ²) ; amplitude 2√x/|ρ|
zéros : γ₁ = 14.134725, γ₂ = 21.022040, γ₃ = 25.010858 … γ₁₂₀ = 269.970449 (mpmath, 20 chiffres, |ζ(½ + iγ)| inférieur à 1e-13)
résidu : RMS de ψ_N − ψ sur 980 points de [2, 100] : N = 0 : 1.571, 10 : 0.990, 50 : 0.641, 120 : 0.456
marches : ψ₁₂₀ monte de 1.910 au passage de x = 7 (ln 7 = 1.946), de 0.723 au passage de 8 (ln 2 = 0.693), de 0.042 au passage de 6 (aucune puissance de nombre premier)
droite critique : Z(t) = 2 Σ_{n ≤ √(t/2π)} n^{−½} cos(θ(t) − t ln n) + (−1)^{N−1} (t/2π)^{−¼} C₀(p), θ(t) = t/2·ln(t/2π) − t/2 − π/8 + 1/48t + 7/5760t³
précision de Z (mesurée) : 1.1e-2 sur [10, 100], 3.8e-3 sur [100, 250] ; |Z| aux zéros tabulés ≤ 1.1e-2
comptage : N(T) = T/2π·ln(T/2πe) + 7/8 : 119.48 en γ₁₂₀, le reste est S(T)
