Math
Courbure et transport parallèle
Porte une flèche autour d'une boucle sans jamais la tourner, et elle revient tournée. L'angle est la courbure que la boucle a enfermée - Gauss–Bonnet - et c'est pourquoi un pendule de Foucault connaît sa latitude. Cercles de latitude, triangles géodésiques, un plan et une selle, chaque boucle avec sa forme close à côté de la rotation mesurée.
Ce qui se passe
Fais glisser une flèche le long d'une courbe sans jamais la tourner dans la surface : c'est le transport parallèle, et c'est une seule règle - avancer, puis reposer la flèche à plat sur la surface. Sur une feuille plate elle revient exactement comme elle est partie. Sur une sphère, non. L'angle dont elle a tourné est l'holonomie, et Gauss–Bonnet dit qu'il est égal à la courbure que la boucle a enfermée : pour un cercle de latitude φ, 2π(1 − sin φ), l'aire de la calotte qu'il entoure sur la sphère unité. Regarde la flèche voyager : elle laisse une copie d'elle-même tous les quelques degrés, et quand elle rentre, elle se pose à côté d'un pâle fantôme de son départ. L'arc rose entre les deux est le nombre. Une géodésique - un grand cercle - est une courbe qui ne tourne pas ; le long d'une géodésique la flèche garde un angle constant avec le chemin, et un triangle géodésique la tourne exactement de son excès angulaire : l'octant à trois angles droits donne π/2, trois noms pour un seul nombre. La selle se courbe dans l'autre sens, sa courbure est négative, et la même procédure ramène la flèche tournée à l'envers ; le plan n'a rien à enfermer et ne la tourne de rien, quelle que soit la taille. Le nombre est mesuré deux fois sur la même flèche : contre le repère de départ, qui ne voit la rotation que modulo 2π, et contre la direction de marche, qui tient le compte - ainsi l'équateur, qui fait faire à la flèche un tour complet, se lit 2π et non rien. Les deux s'accordent à quatorze chiffres. Le transport est du premier ordre, l'erreur se divise par deux à chaque doublement du pas, si bien que la rotation mesurée manque la forme close de quelques dix-millièmes - c'est de la discrétisation, pas un défaut. La même formule pend au Panthéon : un pendule de Foucault à la latitude φ tourne de 2π·sin φ en un jour sidéral, et 2π(1 − sin φ) - l'holonomie - est ce qui reste.
Équations du module
Équations transport : avancer le long de la courbe, puis reprojeter la flèche dans le plan tangent et la renormaliser - aucune rotation n'est jamais appliquée Gauss–Bonnet : holonomie = ∫K dA sur la région à gauche de la boucle ; ∫κ_g ds + Σ angles extérieurs = 2π − ∫K dA cercle de latitude φ : 2π(1 − sin φ), l'aire de la calotte sur la sphère unité ; l'équateur fait tourner la flèche d'un tour complet 2π triangle géodésique : excès E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = aire ; l'octant à trois angles droits donne π/2 selle z = (x² − y²)/2 : K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, donc un cercle de rayon r renferme −2π(1 − 1/√(1 + r²)) plan : K = 0, holonomie 0 pour toute boucle déroulé : ±2π (le tour propre du chemin) + Σ Δ(angle de la flèche par rapport au chemin) ; concorde avec la lecture du repère modulo 2π à 1e-14 près convergence : premier ordre - erreur 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 pour 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 pas, rapport 2.00 Foucault : 2π·sin φ par jour sidéral ; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π ; Panthéon 48.87° : 31.8 h par tour mesuré (20 000 pas) : 45° : 1.840354 contre 1.840302 ; selle r = 1 : −1.840354 contre −1.840302 ; octant : 1.570796327 exactement
