Math
Кривизна и параллельный перенос
Пронеси стрелку по петле, ни разу её не повернув, — и она вернётся повёрнутой. Угол равен кривизне, которую петля обошла, — это Гаусс–Бонне, и потому маятник Фуко знает свою широту. Круги широты, геодезические треугольники, плоскость и седло — у каждой петли замкнутая форма рядом с измеренным поворотом.
Что происходит
Скользи стрелкой вдоль кривой, никогда не поворачивая её в поверхности: это параллельный перенос, и он — одно правило: сдвинуться, а потом положить стрелку обратно плашмя на поверхность. На плоском листе она возвращается ровно такой, какой ушла. На сфере — нет. Угол, на который она повернулась, называется голономией, и Гаусс–Бонне говорит, что он равен кривизне, заключённой внутри петли: для круга широты φ это 2π(1 − sin φ) — площадь шапки, которую он окружает на единичной сфере. Смотри, как стрелка идёт: через каждые несколько градусов она оставляет свою копию, а вернувшись домой, ложится рядом с бледным призраком того, какой она вышла. Розовая дуга между ними — это и есть число. Геодезическая (большой круг) — кривая, которая не поворачивает, поэтому вдоль неё стрелка держит постоянный угол к пути, и геодезический треугольник поворачивает её ровно на свой угловой избыток: октант с тремя прямыми углами даёт π/2 — три имени у одного числа. Седло гнётся в другую сторону, его кривизна отрицательна, и та же процедура возвращает стрелку повёрнутой в обратную сторону; плоскости нечего заключать, и она не поворачивает стрелку вовсе, при любом размере. Число измерено дважды от одной стрелки: относительно репера, в котором она вышла, — он видит поворот только по модулю 2π, — и относительно направления движения, которое ведёт счёт; поэтому экватор, поворачивающий стрелку на полный оборот, читается как 2π, а не как ничто. Оба измерения сходятся до четырнадцати знаков. Перенос первого порядка: ошибка уменьшается вдвое при удвоении числа шагов, так что измеренный поворот отстаёт от замкнутой формы на несколько десятитысячных — это дискретизация, а не дефект. Та же формула висит в Пантеоне: маятник Фуко на широте φ поворачивается на 2π·sin φ за звёздные сутки, а 2π(1 − sin φ) — голономия — то, что остаётся.
Уравнения модуля
Уравнения перенос: шаг вдоль кривой, затем стрелка проецируется обратно в касательную плоскость и нормируется заново - никакого поворота не применяется вообще Гаусс–Бонне: голономия = ∫K dA по области слева от петли; ∫κ_g ds + Σ внешних углов = 2π − ∫K dA параллель широты φ: 2π(1 − sin φ), площадь шапки на единичной сфере; экватор поворачивает стрелку на полные 2π геодезический треугольник: избыток E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = площадь; октант с тремя прямыми углами даёт π/2 седло z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, поэтому окружность радиуса r охватывает −2π(1 − 1/√(1 + r²)) плоскость: K = 0, голономия 0 для любой петли развёрнутый угол: ±2π (собственный поворот пути) + Σ Δ(угла стрелки к пути); совпадает с показанием репера по модулю 2π с точностью 1e-14 сходимость: первый порядок - ошибка 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 при 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 шагах, отношение 2.00 Фуко: 2π·sin φ за звёздные сутки; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Пантеон 48.87°: 31.8 h на оборот измерено (20 000 шагов): 45°: 1.840354 против 1.840302; седло r = 1: −1.840354 против −1.840302; октант: 1.570796327 точно
