Math
Krümmung und Paralleltransport
Trage einen Pfeil um eine Schleife, ohne ihn je zu drehen - und er kommt gedreht zurück. Der Winkel ist die Krümmung, die die Schleife umschlossen hat - Gauß–Bonnet - und deshalb kennt ein Foucaultsches Pendel seine Breite. Breitenkreise, geodätische Dreiecke, eine Ebene und ein Sattel, jede Schleife mit ihrer geschlossenen Form neben der gemessenen Drehung.
Was passiert
Schiebe einen Pfeil eine Kurve entlang, ohne ihn je in der Fläche zu drehen: das ist Paralleltransport, und er ist eine einzige Regel - bewegen, dann den Pfeil wieder flach auf die Fläche legen. Auf einem ebenen Blatt kommt er genau so zurück, wie er losging. Auf einer Kugel nicht. Der Winkel, um den er sich gedreht hat, ist die Holonomie, und Gauß–Bonnet sagt: er ist gleich der Krümmung, die die Schleife umschlossen hat - für einen Breitenkreis φ also 2π(1 − sin φ), die Fläche der Kappe, die er auf der Einheitskugel umgibt. Sieh dem Pfeil beim Wandern zu: alle paar Grad lässt er eine Kopie von sich zurück, und wenn er heimkommt, liegt er neben einem blassen Geist seines Aufbruchs. Der rosa Bogen dazwischen ist die Zahl. Eine Geodäte - ein Großkreis - ist eine Kurve, die nicht dreht; längs einer solchen behält der Pfeil einen konstanten Winkel zum Weg, und ein geodätisches Dreieck dreht ihn genau um seinen Winkelexzess: der Oktant mit drei rechten Winkeln gibt π/2, drei Namen für eine Zahl. Der Sattel biegt sich andersherum, seine Krümmung ist negativ, und dieselbe Prozedur bringt den Pfeil in die Gegenrichtung gedreht zurück; die Ebene hat nichts zu umschließen und dreht ihn um nichts, bei jeder Größe. Die Zahl wird zweimal am selben Pfeil gemessen: gegen das Bezugssystem, in dem er startete - es sieht die Drehung nur modulo 2π - und gegen die Bewegungsrichtung, die mitzählt; so liest sich der Äquator, der den Pfeil um einen vollen Kreis dreht, als 2π statt als nichts. Beide stimmen auf vierzehn Stellen überein. Der Transport ist erster Ordnung, der Fehler halbiert sich mit jeder Verdopplung der Schritte, also verfehlt die gemessene Drehung die geschlossene Form um einige Zehntausendstel - Diskretisierung, kein Defekt. Dieselbe Formel hängt im Panthéon: ein Foucaultsches Pendel auf der Breite φ dreht sich in einem Sterntag um 2π·sin φ, und 2π(1 − sin φ) - die Holonomie - ist, was übrig bleibt.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Transport: einen Schritt entlang der Kurve gehen, dann den Pfeil zurück in die Tangentialebene projizieren und renormieren - es wird nie eine Drehung angewendet Gauß–Bonnet: Holonomie = ∫K dA über das Gebiet links der Schleife; ∫κ_g ds + Σ Außenwinkel = 2π − ∫K dA Breitenkreis φ: 2π(1 − sin φ), die Fläche der Kappe auf der Einheitskugel; der Äquator dreht den Pfeil um volle 2π geodätisches Dreieck: Exzess E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = Fläche; der Oktant mit drei rechten Winkeln ergibt π/2 Sattel z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, daher umschließt ein Kreis vom Radius r den Wert −2π(1 − 1/√(1 + r²)) Ebene: K = 0, Holonomie 0 für jede Schleife abgewickelt: ±2π (die eigene Drehung des Weges) + Σ Δ(Winkel des Pfeils zum Weg); stimmt mit der Rahmenablesung modulo 2π bis auf 1e-14 überein Konvergenz: erste Ordnung - Fehler 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 bei 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 Schritten, Verhältnis 2.00 Foucault: 2π·sin φ pro Sterntag; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Pantheon 48.87°: 31.8 h pro Umdrehung gemessen (20 000 Schritte): 45°: 1.840354 gegenüber 1.840302; Sattel r = 1: −1.840354 gegenüber −1.840302; Oktant: 1.570796327 exakt
