Math
Krzywizna i przeniesienie równoległe
Przenieś strzałkę wzdłuż pętli, nigdy jej nie obracając - a wróci obrócona. Kąt równa się krzywiźnie, którą pętla objęła - Gauss–Bonnet - i dlatego wahadło Foucaulta zna swoją szerokość geograficzną. Koła szerokości, trójkąty geodezyjne, płaszczyzna i siodło, każda pętla ze swoją postacią zamkniętą obok zmierzonego obrotu.
Co się dzieje
Przesuwaj strzałkę wzdłuż krzywej, nigdy nie obracając jej w powierzchni: to przeniesienie równoległe i jest jedną regułą - przesunąć się, a potem położyć strzałkę z powrotem płasko na powierzchni. Na płaskiej kartce wraca dokładnie taka, jaka wyszła. Na sferze nie. Kąt, o jaki się obróciła, to holonomia, a Gauss–Bonnet mówi, że równa się on krzywiźnie objętej przez pętlę: dla koła szerokości φ jest to 2π(1 − sin φ), pole czaszy, którą otacza na sferze jednostkowej. Patrz, jak strzałka wędruje: co kilka stopni zostawia swoją kopię, a gdy wraca do domu, kładzie się obok bladego widma tego, jak wyruszyła. Różowy łuk między nimi to właśnie ta liczba. Geodezyjna - koło wielkie - to krzywa, która nie skręca, więc wzdłuż niej strzałka zachowuje stały kąt do drogi, a trójkąt geodezyjny obraca ją dokładnie o swój nadmiar kątowy: oktant o trzech kątach prostych daje π/2, trzy nazwy jednej liczby. Siodło wygina się w drugą stronę, jego krzywizna jest ujemna i ta sama procedura przynosi strzałkę obróconą przeciwnie; płaszczyzna nie ma czego objąć i nie obraca jej wcale, przy każdym rozmiarze. Liczba mierzona jest dwukrotnie na tej samej strzałce: względem układu, w którym wyruszyła - a ten widzi obrót tylko modulo 2π - i względem kierunku ruchu, który prowadzi rachunek; dlatego równik, obracający strzałkę o pełny obrót, odczytuje się jako 2π, a nie jako nic. Oba pomiary zgadzają się do czternastu cyfr. Przeniesienie jest pierwszego rzędu, błąd maleje o połowę przy każdym podwojeniu liczby kroków, więc zmierzony obrót chybia postaci zamkniętej o kilka dziesięciotysięcznych - to dyskretyzacja, nie wada. Ta sama formuła wisi w Panteonie: wahadło Foucaulta na szerokości φ obraca się o 2π·sin φ w ciągu doby gwiazdowej, a 2π(1 − sin φ) - holonomia - jest tym, co zostaje.
Równania modułu
Równania przeniesienie: krok wzdłuż krzywej, następnie rzutowanie strzałki z powrotem na płaszczyznę styczną i renormalizacja - żaden obrót nie jest nigdy stosowany Gauss–Bonnet: holonomia = ∫K dA po obszarze po lewej stronie pętli; ∫κ_g ds + Σ kątów zewnętrznych = 2π − ∫K dA równoleżnik φ: 2π(1 − sin φ), pole czaszy na sferze jednostkowej; równik obraca strzałkę o pełne 2π trójkąt geodezyjny: nadmiar E = 2·atan2(a·(b×c), 1 + a·b + b·c + c·a) = pole; oktant z trzema kątami prostymi daje π/2 siodło z = (x² − y²)/2: K = −1/(1 + ρ²)², dA = √(1 + ρ²) ρ dρ dθ, więc okrąg o promieniu r obejmuje −2π(1 − 1/√(1 + r²)) płaszczyzna: K = 0, holonomia 0 dla każdej pętli rozwinięte: ±2π (własny skręt ścieżki) + Σ Δ(kąta strzałki względem ścieżki); zgadza się z odczytem z reperu modulo 2π z dokładnością 1e-14 zbieżność: pierwszego rzędu - błąd 8.22e-4 / 4.12e-4 / 2.06e-4 / 1.03e-4 / 5.16e-5 przy 1250 / 2500 / 5000 / 10000 / 20000 krokach, iloraz 2.00 wahadło Foucaulta: 2π·sin φ na dobę gwiazdową; 2π·sin φ + 2π(1 − sin φ) = 2π; Panteon 48.87°: 31.8 h na obrót zmierzone (20 000 kroków): 45°: 1.840354 wobec 1.840302; siodło r = 1: −1.840354 wobec −1.840302; oktant: dokładnie 1.570796327
