Math
Katastrofa ostrza
Pociągnij jedno pokrętło, a stan sunie, aż jego gałąź się skończy - wtedy przeskakuje, a cofnięcie tego nie odwraca. Przekręć drugie pokrętło ponad ostrze, a przeskok znika zupełnie: pętla histerezy nie jest tam mała, jest dokładnie zerowa. Szerokość 4·(−a/3)^(3/2), wysokość skoku 3·√(−a/3), sprawdzalne na obrazie.
Co się dzieje
Jedno równanie: x³ + a·x + b = 0. Stanem jest x, a i b to dwa pokrętła. Ciągnij b, a stan gładko sunie wzdłuż swojej gałęzi - dopóki gałąź się nie skończy i nie spadnie na drugą. Pociągnij z powrotem: nie wróci tą samą drogą, przeskok nastąpi gdzie indziej, a odstęp między nimi to pętla histerezy. Ma szerokość 4·(−a/3)^(3/2) - prawo potęgowe trzech drugich - a skok na fałdzie wynosi dokładnie 3·√(−a/3), bo gałąź w √(−a/3) zderza się z tą w −2·√(−a/3). Nie ma postoju w połowie: środkowa gałąź, na czerwono, to MAKSIMUM potencjału V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, a na grzbiecie nic nie spocznie. Popatrz na potencjał poniżej: dwie studnie i wzgórze, a gdy b się przesuwa, jedna studnia unosi się, aż zniknie, zabierając stan. Teraz DRUGIE pokrętło: ponad ostrzem (a ≥ 0) nie ma żadnej pętli - nie małej, dokładnie zerowej, bo w tę i z powrotem kreśli się ta sama krzywa. Ten sam układ, ten sam ruch, a przeskoku po prostu nie ma.
Równania modułu
Równania stan: x³ + a·x + b = 0, z potencjału V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x gałęzie: decyduje wyróżnik 4a³ + 27b² - ujemny daje trzy pierwiastki rzeczywiste, dodatni jeden, zero to fałd, w którym dwa pierwiastki się zderzają stabilność: V″ = 3x² + a; dwa skrajne pierwiastki są minimami, środkowy MAKSIMUM, dlatego skok nie ma stanu pośredniego fałdy: b = ±2·(−a/3)^(3/2), więc pętla histerezy ma szerokość 4·(−a/3)^(3/2) - prawo potęgowe z wykładnikiem trzy drugie skok: w fałdzie gałąź w √(−a/3) zderza się z gałęzią w −2·√(−a/3), więc stan spada o 3·√(−a/3) powyżej ostrza: a ≥ 0 daje jedną gałąź dla każdego b, brak fałdu i szerokość pętli DOKŁADNIE zero zmierzone: pętla 0.780 / 4.000 / 11.320 przy a = −1 / −3 / −6 wobec 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, na siatce przeglądu o kroku 0.01
