Math
Катастрофа збірки
Тягни одну ручку — стан ковзає, доки його гілка не скінчиться, і клацає; потягнеш назад — тим самим шляхом не повернеться. Поверни другу ручку вище вершини, і клацання зникне зовсім: петля гістерезису там не мала, а рівно нульова. Ширина 4·(−a/3)^(3/2), висота стрибка 3·√(−a/3) — і те й інше перевіряється по картинці.
Що відбувається
Одне рівняння: x³ + a·x + b = 0. Стан це x, a і b — дві ручки. Тягни b, і стан гладко ковзає своєю гілкою, доки гілка не скінчиться, а тоді падає на іншу. Потягни назад — повернеться не тим шляхом: стрибок станеться в іншому місці, і проміжок між ними і є петля гістерезису. Її ширина 4·(−a/3)^(3/2) — закон трьох других, — а стрибок на складці рівно 3·√(−a/3) заввишки, бо гілка в √(−a/3) стикається з гілкою в −2·√(−a/3). Спинитися на півдорозі ніде: середня гілка, намальована червоним, — це МАКСИМУМ потенціалу V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, а на гребені ніщо не втримається. Дивись на потенціал унизу: дві ями і пагорб, і поки b рухається, одна яма підіймається, доки не зникне зовсім, забравши стан. Тепер ІНША ручка: вище вершини (a ≥ 0) петлі немає зовсім — не малої, а рівно нульової, бо розгортка вгору і вниз ідуть однією кривою. Той самий прилад, той самий рух — і клацання просто немає.
Рівняння модуля
Рівняння стан: x³ + a·x + b = 0, з потенціалу V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x гілки: вирішує дискримінант 4a³ + 27b² - від'ємний дає три дійсні корені, додатний один, нуль є складкою, де два зливаються стійкість: V″ = 3x² + a; два крайні корені є мінімумами, середній - МАКСИМУМ, тому в стрибка немає проміжного стану складки: b = ±2·(−a/3)^(3/2), тож петля гістерезису має ширину 4·(−a/3)^(3/2) - степеневий закон із показником три на два стрибок: на складці гілка в √(−a/3) зливається з гілкою в −2·√(−a/3), тож стан падає на 3·√(−a/3) вище збірки: a ≥ 0 дає одну гілку для кожного b, жодної складки й ширину петлі РІВНО нуль виміряно: петля 0.780 / 4.000 / 11.320 при a = −1 / −3 / −6 проти 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, на сітці розгортки 0.01
