Math
Die Kuspen-Katastrophe
Ziehen Sie an einem Knopf und der Zustand gleitet, bis sein Zweig endet - dann schnappt er, und Zurückziehen macht es nicht rückgängig. Drehen Sie den zweiten Knopf über die Kuspe, und das Schnappen verschwindet ganz: die Hystereseschleife ist dort nicht klein, sondern exakt null. Schleifenbreite 4·(−a/3)^(3/2), Sprunghöhe 3·√(−a/3) - beides am Bild prüfbar.
Was passiert
Eine Gleichung: x³ + a·x + b = 0. Der Zustand ist x, a und b sind zwei Knöpfe. Ziehen Sie an b, und der Zustand gleitet glatt seinem Zweig entlang - bis der Zweig endet und er auf den anderen fällt. Ziehen Sie zurück, und er kehrt nicht denselben Weg: der Sprung geschieht anderswo, und der Abstand dazwischen ist die Hystereseschleife. Sie ist 4·(−a/3)^(3/2) breit - ein Dreihalbe-Potenzgesetz - und der Sprung an der Falte ist genau 3·√(−a/3) hoch, denn der Zweig bei √(−a/3) trifft auf den bei −2·√(−a/3). Auf halbem Weg ist kein Halt: der mittlere, rot gezeichnete Zweig ist ein MAXIMUM des Potentials V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, und auf einem Hügelkamm ruht nichts. Sehen Sie das Potential darunter - zwei Mulden und ein Hügel, und mit wanderndem b hebt sich eine Mulde, bis sie ganz verschwindet und den Zustand mitnimmt. Nun der ANDERE Knopf: über der Kuspe (a ≥ 0) gibt es gar keine Schleife - nicht eine kleine, exakt null, weil Hin- und Rückweg dieselbe Kurve zeichnen. Gleiches System, gleicher Zug, und das Schnappen fehlt einfach.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Zustand: x³ + a·x + b = 0, aus dem Potential V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x Zweige: die Diskriminante 4a³ + 27b² entscheidet - negativ ergibt drei reelle Wurzeln, positiv eine, null ist die Falte, wo zwei zusammenfallen Stabilität: V″ = 3x² + a; die beiden äußeren Nullstellen sind Minima, die mittlere ein MAXIMUM, weshalb der Sprung keinen Zwischenzustand hat Falten: b = ±2·(−a/3)^(3/2), daher ist die Hystereseschleife 4·(−a/3)^(3/2) breit - ein Potenzgesetz mit dem Exponenten drei Halbe Sprung: an der Falte kollidiert der Zweig bei √(−a/3) mit dem bei −2·√(−a/3), daher fällt der Zustand um 3·√(−a/3) oberhalb der Spitze: a ≥ 0 ergibt einen Zweig für jedes b, keine Falte und eine Schleifenbreite von GENAU null gemessen: Schleife 0.780 / 4.000 / 11.320 bei a = −1 / −3 / −6 gegenüber 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, auf einem Durchlaufgitter von 0.01
