Math
La catástrofe de cúspide
Arrastre una perilla y el estado se desliza hasta que su rama se acaba - entonces salta, y volver atrás no lo deshace. Gire la segunda perilla por encima de la cúspide y el salto desaparece del todo: el ciclo de histéresis allí no es pequeño, es exactamente cero. Anchura 4·(−a/3)^(3/2), altura del salto 3·√(−a/3), comprobables en la imagen.
Qué ocurre
Una ecuación: x³ + a·x + b = 0. El estado es x, a y b son dos perillas. Arrastre b y el estado se desliza suavemente por su rama - hasta que la rama se acaba y cae a la otra. Vuelva atrás: no regresa por el mismo camino, el salto ocurre en otro sitio, y el hueco entre ambos es el ciclo de histéresis. Mide 4·(−a/3)^(3/2) - una ley de potencia de tres medios - y el salto en el pliegue vale exactamente 3·√(−a/3), porque la rama en √(−a/3) choca con la de −2·√(−a/3). No hay parada a medio camino: la rama central, en rojo, es un MÁXIMO del potencial V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, y nada descansa en una cresta. Mire el potencial debajo: dos pozos y una colina, y al mover b un pozo sube hasta desaparecer, llevándose el estado. Ahora la OTRA perilla: por encima de la cúspide (a ≥ 0) no hay ciclo alguno - no uno pequeño, exactamente cero, porque la ida y la vuelta trazan la misma curva. El mismo sistema, el mismo gesto, y el salto sencillamente no está.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones estado: x³ + a·x + b = 0, a partir del potencial V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x ramas: el discriminante 4a³ + 27b² decide - negativo da tres raíces reales, positivo una, cero es el pliegue donde dos colisionan estabilidad: V″ = 3x² + a; las dos raíces exteriores son mínimos, la central un MÁXIMO, por eso el salto no tiene punto intermedio pliegues: b = ±2·(−a/3)^(3/2), así que el ciclo de histéresis tiene un ancho de 4·(−a/3)^(3/2) - una ley de potencia de tres medios salto: en el pliegue la rama en √(−a/3) colisiona con la que está en −2·√(−a/3), así que el estado cae 3·√(−a/3) por encima de la cúspide: a ≥ 0 da una rama para cada b, sin pliegue, y un ancho de ciclo EXACTAMENTE nulo medido: ciclo 0.780 / 4.000 / 11.320 con a = −1 / −3 / −6 frente a 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, en una malla de barrido de 0.01
