Math / Earth
Por qué mienten los mapas
Círculos pequeños en el globo y los mismos círculos en el mapa: la indicatriz de Tissot, en la que está toda la medida. Mercator mantiene cada círculo redondo y los hincha más de treinta veces; Lambert mantiene las áreas y aplasta las formas; nadie mantiene ambas, y eso es Gauss. Groenlandia es catorce veces menor que África, y Mercator la dibuja 10,47 veces más grande de lo debido.
Qué ocurre
Una esfera no puede aplanarse. No «es difícil»: no puede, y Gauss lo demostró en 1827 - la curvatura sobrevive al doblado, así que una superficie de curvatura 1/R² no puede volverse una de curvatura cero sin estirarse. Cada proyección elige, pues, qué mentira contar. En el globo hay una rejilla de círculos pequeños, todos del mismo tamaño porque en la esfera lo son. En el mapa están los mismos círculos proyectados, y ya no lo son: son las indicatrices de Tissot. Sus semiejes son los factores de escala h a lo largo del meridiano y k a lo largo del paralelo. CONFORME significa h = k en todas partes: cada indicatriz sigue siendo un círculo y las formas sobreviven. EQUIVALENTE significa h·k = 1 en todas partes: cada indicatriz tiene la misma área, sea cual sea su forma. Medido sobre la esfera: Mercator mantiene el factor de forma exactamente en 1 y deja correr el área hasta 33; Lambert mantiene el área exactamente en 1 y paga esos mismos 33 en la forma; la equirrectangular no mantiene ninguna. Ninguna mantiene ambas - ese es el teorema, no un defecto de las cuatro ofrecidas. La consecuencia famosa: Groenlandia 2,166 millones de km² frente a los 30,37 de África, una razón de catorce; sec²(72°) = 10,47 frente a sec²(1°) = 1, así que en el papel quedan a 1,34. Y Mercator no tiene polo: y crece sin límite, todo mapa impreso acaba en alguna parte, y los mapas web cortan en 85,051129°, donde y vale exactamente π.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones Tissot: una circunferencia pequeña sobre el globo se convierte en una elipse de semiejes h (a lo largo del meridiano) y k (a lo largo del paralelo) conforme: h = k en todas partes — toda indicatriz sigue siendo una CIRCUNFERENCIA, las formas se conservan, las áreas no equivalente (igual área): h·k = 1 en todas partes — toda indicatriz tiene la misma ÁREA, las formas no se conservan Theorema Egregium (Gauss, 1827): la curvatura se conserva al doblar, así que ninguna proyección puede tener ambas equirrectangular: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; área 1 … 5.759, forma 1 … 5.759 — no conserva NINGUNA Mercator: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; forma exactamente 1, área 1 … 33.163 cilíndrica de Lambert: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; área exactamente 1, forma 1 … 33.163 estereográfica: h = k = 2/(1 + sin φ); conforme, y el área llega hasta 17 331 en el polo opuesto Groenlandia: 2.166 millones de km² frente a los 30.37 de África — una razón real de 14.021; sec²(72°) = 10.472 frente a sec²(1°) = 1.000, así que la razón dibujada es 1.339 el polo de Mercator: y → ∞; a 89.9° y = 7.044 R y el factor de área es 328 281; los mapas web cortan en 85.051129°, donde y = π exactamente
