Math / Earth
Почему карты врут
Маленькие круги на глобусе и те же круги на карте — индикатриса Тиссо, в ней всё измерение. Меркатор оставляет каждый круг круглым и раздувает их больше чем в тридцать раз; Ламберт сохраняет площади и расплющивает формы; обе сразу не сохраняет никто, и это Гаусс. Гренландия в четырнадцать раз меньше Африки, а Меркатор рисует её в 10.47 раза крупнее, чем следует.
Что происходит
Сферу нельзя расплющить. Не «трудно расплющить», а нельзя, и Гаусс доказал это в 1827: кривизна переживает изгибание, поэтому поверхность с кривизной 1/R² не станет поверхностью с нулевой кривизной без растяжения. Значит каждая проекция выбирает, какую ложь рассказать, и модуль показывает сам этот выбор. На глобусе сетка маленьких кругов, все одинаковые, потому что на сфере они одинаковые. На карте те же круги спроецированы, и одинаковыми быть перестали: это индикатрисы Тиссо. Их полуоси — коэффициенты h вдоль меридиана и k вдоль параллели, и дальше всё следует само. Проекция КОНФОРМНА, когда h = k всюду: каждая индикатриса остаётся кругом, формы уцелели. Она РАВНОВЕЛИКА, когда h·k = 1 всюду: у каждой индикатрисы одна и та же площадь, какой бы формы она ни была. Измерено по всей сфере: Меркатор держит коэффициент формы ровно на единице и отпускает площадь до 33; Ламберт держит площадь ровно на единице и платит те же 33 формой; равнопромежуточная не держит ничего — оттого ей место на сетке данных, а не на стене. Обе сразу не держит ни одна, и это теорема, а не недостаток четырёх выбранных. Знаменитое следствие: Гренландия 2.166 млн км², Африка 30.37, отношение четырнадцать. Коэффициент площади Меркатора — sec²(широты), на гренландских 72° это 10.47, на африканском экваторе 1, и на бумаге они стоят как 1.34 вместо 14. А полюса у Меркатора нет вовсе: y растёт неограниченно, поэтому всякую напечатанную карту где-то режут; веб-карты режут на 85.051129°, где y ровно π и карта выходит квадратной.
Уравнения модуля
Уравнения Тиссо: малая окружность на глобусе становится эллипсом с полуосями h (вдоль меридиана) и k (вдоль параллели) конформная: h = k везде — каждая индикатриса остаётся ОКРУЖНОСТЬЮ, формы сохраняются, площади нет равновеликая: h·k = 1 везде — каждая индикатриса имеет одинаковую ПЛОЩАДЬ, формы не сохраняются Замечательная теорема (Гаусс, 1827): кривизна сохраняется при изгибании, поэтому ни одна проекция не может иметь оба свойства равнопромежуточная цилиндрическая: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; площадь 1 … 5.759, форма 1 … 5.759 — не сохраняется НИ ТО, НИ ДРУГОЕ проекция Меркатора: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; форма ровно 1, площадь 1 … 33.163 цилиндрическая проекция Ламберта: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; площадь ровно 1, форма 1 … 33.163 стереографическая: h = k = 2/(1 + sin φ); конформная, а площадь доходит до 17 331 на дальнем полюсе Гренландия: 2.166 млн km² против 30.37 у Африки — истинное отношение 14.021; sec²(72°) = 10.472 против sec²(1°) = 1.000, поэтому нарисованное отношение 1.339 полюс на карте Меркатора: y → ∞; при 89.9° y = 7.044 R, а множитель площади равен 328 281; веб-карты обрезаются на 85.051129°, где y = π точно
