Math / Earth
Pourquoi les cartes mentent
De petits cercles sur le globe et les mêmes cercles sur la carte : l’indicatrice de Tissot, qui est toute la mesure. Mercator garde chaque cercle rond et les gonfle plus de trente fois ; Lambert garde les aires et écrase les formes ; personne ne garde les deux, et c’est Gauss. Le Groenland est quatorze fois plus petit que l’Afrique, et Mercator le dessine 10,47 fois trop grand.
Ce qui se passe
Une sphère ne peut pas être aplatie. Non pas « difficilement » : pas du tout, et Gauss l’a prouvé en 1827 - la courbure survit au pliage, donc une surface de courbure 1/R² ne peut devenir une surface de courbure nulle sans étirement. Chaque projection choisit donc son mensonge. Sur le globe, une grille de petits cercles, tous de même taille parce que sur la sphère ils le sont. Sur la carte, les mêmes cercles projetés, et ils ne le sont plus : ce sont les indicatrices de Tissot. Leurs demi-axes sont les facteurs d’échelle h le long du méridien et k le long du parallèle. CONFORME veut dire h = k partout : chaque indicatrice reste un cercle, les formes survivent. ÉQUIVALENTE veut dire h·k = 1 partout : chaque indicatrice a la même aire, quelle que soit sa forme. Mesuré sur la sphère : Mercator tient le facteur de forme exactement à 1 et laisse l’aire monter à 33 ; Lambert tient l’aire exactement à 1 et paie les mêmes 33 en forme ; la carte plate carrée ne tient ni l’un ni l’autre. Aucune ne tient les deux - c’est le théorème, pas un défaut des quatre proposées. La conséquence célèbre : le Groenland 2,166 millions de km² contre 30,37 pour l’Afrique, un rapport de quatorze ; sec²(72°) = 10,47 contre sec²(1°) = 1, donc sur le papier ils sont à 1,34. Et Mercator n’a pas de pôle : y croît sans borne, toute carte imprimée s’arrête quelque part, les cartes web à 85,051129°, où y vaut exactement π.
Équations du module
Équations Tissot : un petit cercle sur le globe devient une ellipse de demi-axes h (le long du méridien) et k (le long du parallèle) conforme : h = k partout — chaque indicatrice reste un CERCLE, les formes sont conservées, les aires ne le sont pas équivalente : h·k = 1 partout — chaque indicatrice a la même AIRE, les formes ne sont pas conservées Theorema Egregium (Gauss, 1827) : la courbure se conserve par flexion, donc aucune projection ne peut avoir les deux équirectangulaire : x = λ, y = φ ; h = 1, k = sec φ ; aire 1 … 5.759, forme 1 … 5.759 — ne conserve NI l'une NI l'autre Mercator : x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2) ; h = k = sec φ ; forme exactement 1, aire 1 … 33.163 cylindrique de Lambert : x = λ, y = sin φ ; h = cos φ, k = sec φ ; aire exactement 1, forme 1 … 33.163 stéréographique : h = k = 2/(1 + sin φ) ; conforme, et l'aire atteint 17 331 au pôle opposé Groenland : 2.166 millions de km² contre 30.37 pour l'Afrique — un vrai rapport de 14.021 ; sec²(72°) = 10.472 contre sec²(1°) = 1.000, donc le rapport dessiné est 1.339 pôle de Mercator : y → ∞ ; à 89.9° y = 7.044 R et le facteur d'aire est 328 281 ; les cartes web coupent à 85.051129°, où y = π exactement
