Math / Earth
Чому карти брешуть
Маленькі кола на глобусі й ті самі кола на карті: індикатриса Тіссо, у ній усе вимірювання. Меркатор лишає кожне коло круглим і роздуває їх понад тридцять разів; Ламберт зберігає площі й розплющує форми; обидва разом не зберігає ніхто, і це Гаусс. Гренландія в чотирнадцять разів менша за Африку, а Меркатор малює її в 10,47 раза більшою, ніж слід.
Що відбувається
Сферу не можна сплющити. Не «важко»: не можна, і Гаусс довів це 1827 року - кривина переживає згинання, тож поверхня з кривиною 1/R² не стане поверхнею з нульовою кривиною без розтягу. Отже кожна проєкція обирає, яку брехню розповісти. На глобусі сітка маленьких кіл, усі однакові, бо на сфері вони однакові. На карті ті самі кола спроєктовані й однаковими бути перестали: це індикатриси Тіссо. Їхні півосі - коефіцієнти h уздовж меридіана і k уздовж паралелі. КОНФОРМНА означає h = k усюди: кожна індикатриса лишається колом, форми вціліли. РІВНОВЕЛИКА означає h·k = 1 усюди: у кожної індикатриси однакова площа, якої б форми вона не була. Виміряно по сфері: Меркатор тримає коефіцієнт форми рівно на одиниці й відпускає площу до 33; Ламберт тримає площу рівно на одиниці й платить ті самі 33 формою; рівнопроміжна не тримає нічого. Обидва разом не тримає жодна - це теорема, а не вада цих чотирьох. Славетний наслідок: Гренландія 2,166 млн км² проти 30,37 в Африки, відношення чотирнадцять; sec²(72°) = 10,47 проти sec²(1°) = 1, тож на папері вони стоять як 1,34. А полюса в Меркатора немає: y росте необмежено, кожна друкована карта десь закінчується, а вебкарти ріжуть на 85,051129°, де y дорівнює точно π.
Рівняння модуля
Рівняння Тіссо: мале коло на глобусі стає еліпсом із півосями h (уздовж меридіана) і k (уздовж паралелі) конформна: h = k скрізь — кожна індикатриса лишається КОЛОМ, форми зберігаються, площі — ні рівновелика: h·k = 1 скрізь — кожна індикатриса має однакову ПЛОЩУ, форми не зберігаються Чудова теорема (Гаусс, 1827): кривина зберігається при згинанні, тому жодна проєкція не може мати обидві властивості рівнопроміжна циліндрична: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; площа 1 … 5.759, форма 1 … 5.759 — не зберігається ЖОДНА з властивостей Меркатор: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; форма точно 1, площа 1 … 33.163 циліндрична Ламберта: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; площа точно 1, форма 1 … 33.163 стереографічна: h = k = 2/(1 + sin φ); конформна, а площа зростає до 17 331 на дальньому полюсі Гренландія: 2.166 мільйона km² проти 30.37 Африки — справжнє відношення 14.021; sec²(72°) = 10.472 проти sec²(1°) = 1.000, тож намальоване відношення 1.339 полюс у проєкції Меркатора: y → ∞; на 89.9° y = 7.044 R, а множник площі дорівнює 328 281; веб-карти обрізають на 85.051129°, де y = π точно
