Math / Earth
Warum Karten lügen
Kleine Kreise auf dem Globus und dieselben Kreise auf der Karte: Tissots Indikatrix, in ihr steckt die ganze Messung. Mercator hält jeden Kreis rund und bläht sie über das Dreißigfache auf; Lambert hält die Flächen und quetscht die Formen; beides hält niemand, und das ist Gauß. Grönland ist vierzehnmal kleiner als Afrika, und Mercator zeichnet es 10,47-mal zu groß.
Was passiert
Eine Kugel lässt sich nicht flach machen. Nicht «schwer», sondern gar nicht, und Gauß hat es 1827 bewiesen: Krümmung überlebt das Biegen, also kann eine Fläche der Krümmung 1/R² ohne Dehnung keine mit Krümmung null werden. Jede Projektion wählt daher, welche Lüge sie erzählt. Auf dem Globus liegt ein Raster kleiner Kreise, alle gleich groß, weil sie es auf der Kugel sind. Auf der Karte sind dieselben Kreise projiziert und nicht mehr gleich groß: das sind Tissots Indikatrizen. Ihre Halbachsen sind die Maßstabsfaktoren h längs des Meridians und k längs des Breitenkreises. KONFORM heißt h = k überall - jede Indikatrix bleibt ein Kreis, die Formen überleben. FLÄCHENTREU heißt h·k = 1 überall - jede Indikatrix hat dieselbe Fläche, welche Form auch immer. Gemessen über die Kugel: Mercator hält den Formfaktor exakt bei 1 und lässt die Fläche bis 33 laufen; Lambert hält die Fläche exakt bei 1 und zahlt dieselben 33 in der Form; die Plattkarte hält keines von beiden. Beides hält keine - das ist der Satz, kein Mangel der vier hier. Die berühmte Folge: Grönland 2,166 Millionen km² gegen Afrikas 30,37, ein Verhältnis von vierzehn; sec²(72°) = 10,47 gegen sec²(1°) = 1, also stehen sie auf dem Papier bei 1,34. Und Mercator hat gar keinen Pol: y wächst unbeschränkt, jede gedruckte Mercator-Karte endet irgendwo, Webkarten bei 85,051129°, wo y genau π ist.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Tissot: ein kleiner Kreis auf dem Globus wird zu einer Ellipse mit den Halbachsen h (entlang des Meridians) und k (entlang des Breitenkreises) winkeltreu: h = k überall — jede Indikatrix bleibt ein KREIS, Formen bleiben erhalten, Flächen nicht flächentreu: h·k = 1 überall — jede Indikatrix hat denselben FLÄCHENINHALT, Formen bleiben nicht erhalten Theorema Egregium (Gauß, 1827): die Krümmung bleibt beim Biegen erhalten, also kann keine Projektion beides haben äquirektangulär: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; Fläche 1 … 5.759, Form 1 … 5.759 — erfüllt KEINES von beiden Mercator: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; Form exakt 1, Fläche 1 … 33.163 Lambert-Zylinderprojektion: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; Fläche exakt 1, Form 1 … 33.163 stereografisch: h = k = 2/(1 + sin φ); winkeltreu, und die Fläche wächst bis 17 331 am fernen Pol Grönland: 2.166 Millionen km² gegenüber Afrikas 30.37 — ein wahres Verhältnis von 14.021; sec²(72°) = 10.472 gegenüber sec²(1°) = 1.000, also ist das gezeichnete Verhältnis 1.339 Mercators Pol: y → ∞; bei 89.9° y = 7.044 R und der Flächenfaktor ist 328 281; Webkarten schneiden bei 85.051129° ab, wo y = π exakt
