Math / Earth
Perché le mappe mentono
Piccoli cerchi sul globo e gli stessi cerchi sulla mappa: l’indicatrice di Tissot, in cui sta tutta la misura. Mercatore tiene ogni cerchio rotondo e li gonfia oltre trenta volte; Lambert tiene le aree e schiaccia le forme; nessuno tiene entrambe, ed è Gauss. La Groenlandia è quattordici volte più piccola dell’Africa, e Mercatore la disegna 10,47 volte troppo grande.
Cosa succede
Una sfera non si può appiattire. Non «è difficile»: non si può, e Gauss lo dimostrò nel 1827 - la curvatura sopravvive alla piegatura, quindi una superficie di curvatura 1/R² non può diventare una di curvatura nulla senza stiramento. Ogni proiezione sceglie perciò quale bugia raccontare. Sul globo c’è una griglia di piccoli cerchi, tutti della stessa misura perché sulla sfera lo sono. Sulla mappa gli stessi cerchi sono proiettati e non lo sono più: sono le indicatrici di Tissot. I loro semiassi sono i fattori di scala h lungo il meridiano e k lungo il parallelo. CONFORME significa h = k ovunque: ogni indicatrice resta un cerchio, le forme sopravvivono. EQUIVALENTE significa h·k = 1 ovunque: ogni indicatrice ha la stessa area, qualunque sia la forma. Misurato sulla sfera: Mercatore tiene il fattore di forma esattamente a 1 e lascia correre l’area fino a 33; Lambert tiene l’area esattamente a 1 e paga gli stessi 33 in forma; la piana quadrata non tiene nessuna delle due. Nessuna le tiene entrambe - questo è il teorema, non un difetto delle quattro qui offerte. La conseguenza famosa: Groenlandia 2,166 milioni di km² contro i 30,37 dell’Africa, un rapporto di quattordici; sec²(72°) = 10,47 contro sec²(1°) = 1, quindi sulla carta stanno a 1,34. E Mercatore non ha polo: y cresce senza limite, ogni mappa stampata finisce da qualche parte, e le mappe web tagliano a 85,051129°, dove y vale esattamente π.
Equazioni del modulo
Equazioni Tissot: un piccolo cerchio sul globo diventa un'ellisse con semiassi h (lungo il meridiano) e k (lungo il parallelo) conforme: h = k ovunque — ogni indicatrice resta un CERCHIO, le forme si conservano, le aree no equivalente: h·k = 1 ovunque — ogni indicatrice ha la stessa AREA, le forme non si conservano Theorema Egregium (Gauss, 1827): la curvatura sopravvive alla piegatura, quindi nessuna proiezione può avere entrambe equirettangolare: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; area 1 … 5.759, forma 1 … 5.759 — non conserva NESSUNA delle due Mercatore: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; forma esattamente 1, area 1 … 33.163 cilindrica di Lambert: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; area esattamente 1, forma 1 … 33.163 stereografica: h = k = 2/(1 + sin φ); conforme, e l'area arriva a 17 331 al polo opposto Groenlandia: 2.166 milioni di km² contro i 30.37 dell'Africa — un rapporto vero di 14.021; sec²(72°) = 10.472 contro sec²(1°) = 1.000, quindi il rapporto disegnato è 1.339 il polo di Mercatore: y → ∞; a 89.9° y = 7.044 R e il fattore d'area è 328 281; le mappe web tagliano a 85.051129°, dove y = π esattamente
