Math / Earth
Dlaczego mapy kłamią
Małe okręgi na globusie i te same okręgi na mapie: indykatrysa Tissota, w której zawarty jest cały pomiar. Merkator utrzymuje każdy okrąg okrągłym i rozdyma je ponad trzydziestokrotnie; Lambert utrzymuje pola i spłaszcza kształty; obu naraz nie utrzymuje nikt, i to jest Gauss. Grenlandia jest czternaście razy mniejsza od Afryki, a Merkator rysuje ją 10,47 razy za dużą.
Co się dzieje
Sfery nie da się spłaszczyć. Nie «trudno»: nie da się, i Gauss udowodnił to w 1827 - krzywizna przeżywa zginanie, więc powierzchnia o krzywiźnie 1/R² nie stanie się powierzchnią o krzywiźnie zero bez rozciągania. Każde odwzorowanie wybiera zatem, jakie kłamstwo opowiedzieć. Na globusie jest siatka małych okręgów, wszystkie tej samej wielkości, bo na sferze takie są. Na mapie te same okręgi są odwzorowane i już takie nie są: to indykatrysy Tissota. Ich półosie to współczynniki skali h wzdłuż południka i k wzdłuż równoleżnika. WIERNOKĄTNE znaczy h = k wszędzie: każda indykatrysa pozostaje okręgiem, kształty przeżywają. RÓWNOPOLOWE znaczy h·k = 1 wszędzie: każda indykatrysa ma to samo pole, jakikolwiek ma kształt. Zmierzone po sferze: Merkator trzyma współczynnik kształtu dokładnie na 1 i pozwala polu dobiec do 33; Lambert trzyma pole dokładnie na 1 i płaci te same 33 kształtem; odwzorowanie równoprostokątne nie trzyma żadnego. Żadne nie trzyma obu - to jest twierdzenie, a nie wada tych czterech. Słynny wniosek: Grenlandia 2,166 mln km² wobec 30,37 Afryki, stosunek czternaście; sec²(72°) = 10,47 wobec sec²(1°) = 1, więc na papierze stoją jak 1,34. A Merkator nie ma bieguna: y rośnie bez granic, każda drukowana mapa gdzieś się kończy, a mapy internetowe tną na 85,051129°, gdzie y wynosi dokładnie π.
Równania modułu
Równania Tissot: mały okrąg na globusie staje się elipsą o półosiach h (wzdłuż południka) i k (wzdłuż równoleżnika) konforemne: h = k wszędzie — każda indykatrysa pozostaje OKRĘGIEM, kształty są zachowane, pola nie równopolowe: h·k = 1 wszędzie — każda indykatrysa ma to samo POLE, kształty nie są zachowane Theorema Egregium (Gauss, 1827): krzywizna jest zachowana przy zginaniu, więc żadne odwzorowanie nie może mieć obu własności walcowe równoodległościowe: x = λ, y = φ; h = 1, k = sec φ; pole 1 … 5.759, kształt 1 … 5.759 — NIE zachowuje ŻADNEGO z nich Merkator: x = λ, y = ln tan(π/4 + φ/2); h = k = sec φ; kształt dokładnie 1, pole 1 … 33.163 walcowe Lamberta: x = λ, y = sin φ; h = cos φ, k = sec φ; pole dokładnie 1, kształt 1 … 33.163 stereograficzne: h = k = 2/(1 + sin φ); konforemne, a pole rośnie do 17 331 na odległym biegunie Grenlandia: 2.166 mln km² wobec 30.37 mln Afryki — prawdziwy stosunek 14.021; sec²(72°) = 10.472 wobec sec²(1°) = 1.000, więc narysowany stosunek wynosi 1.339 biegun Merkatora: y → ∞; przy 89.9° y = 7.044 R, a współczynnik pola wynosi 328 281; mapy internetowe ucinają przy 85.051129°, gdzie y = π dokładnie
