Math
Катастрофа сборки
Тяни одну ручку — состояние скользит, пока его ветвь не кончится, и щёлкает; потянешь назад — обратно не вернётся тем же путём. Поверни вторую ручку выше вершины, и щелчок исчезнет вовсе: петля гистерезиса там не маленькая, а ровно нулевая. Ширина петли 4·(−a/3)^(3/2), высота прыжка 3·√(−a/3) — и то и другое проверяемо по картинке.
Что происходит
Одно уравнение: x³ + a·x + b = 0. Состояние это x, a и b — две ручки. Тяни b, и состояние гладко скользит по своей ветви, пока ветвь не кончится, а потом падает на другую. Потяни назад — вернётся не тем же путём: прыжок случится в другом месте, и зазор между этими двумя местами и есть петля гистерезиса. Её ширина 4·(−a/3)^(3/2) — закон трёх вторых, — а прыжок на складке ровно 3·√(−a/3) высотой, потому что ветвь, на которой сидит состояние (в √(−a/3)), сталкивается с ветвью в −2·√(−a/3). Остановиться на полпути негде: средняя ветвь, нарисованная красным, — это МАКСИМУМ потенциала V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x, а на вершине холма ничто не удержится. Смотри на потенциал внизу: две ямы и холм между ними, и по мере движения b одна яма поднимается, пока не исчезнет совсем, унося состояние с собой. Теперь поверни ДРУГУЮ ручку. Выше вершины (a ≥ 0) петли нет вовсе: не маленькая, а ровно нулевая, потому что развёртка вверх и развёртка вниз идут по одной кривой. Тот же прибор, та же тяга — и щелчка просто нет. В этом всё дело: щёлкнет выключатель или скользнёт, зависит не от того, как сильно жмёшь, а от второй ручки, о которой ты не думал. Маленький график справа — плоскость (a, b) с областью в форме вершины, где ветвей три; метка показывает, где сейчас стоят обе твои ручки.
Уравнения модуля
Уравнения состояние: x³ + a·x + b = 0, из потенциала V = x⁴/4 + a·x²/2 + b·x ветви: решает дискриминант 4a³ + 27b² - отрицательный даёт три вещественных корня, положительный - один, нулевой - складку, где два сливаются устойчивость: V″ = 3x² + a; два крайних корня - минимумы, средний - МАКСИМУМ, поэтому у скачка нет промежуточных состояний складки: b = ±2·(−a/3)^(3/2), поэтому петля гистерезиса имеет ширину 4·(−a/3)^(3/2) - степенной закон с показателем три вторых скачок: на складке ветвь в √(−a/3) сливается с ветвью в −2·√(−a/3), поэтому состояние падает на 3·√(−a/3) выше точки сборки: a ≥ 0 даёт одну ветвь при любом b, без складки, и ширина петли РОВНО нулевая измерено: петля 0.780 / 4.000 / 11.320 при a = −1 / −3 / −6 против 0.7698 / 4.0000 / 11.3137, на сетке развёртки 0.01
