Math
Cuencas del método de Newton
Coloree cada punto de partida según la raíz a la que llega el método de Newton: con dos raíces la frontera es una recta, como demostró Cayley en 1879, y con tres es un fractal que las tres cuencas comparten. Arrastre una raíz y vea moverse las áreas: una raíz tirada hacia fuera se queda con MENOS de la ventana, no con más.
Qué ocurre
Método de Newton: empiece donde quiera, itere z ← z − p(z)/p′(z), y caerá en una de las raíces. Coloree cada punto de partida por la raíz que alcanza y el plano se divide en cuencas. Con DOS raíces la imagen es sosa, y Cayley lo demostró en 1879: la frontera es la mediatriz del segmento que las une, una recta y nada más — en una malla de 600 × 600 ni un punto cae del lado equivocado. Con TRES Cayley fracasó, y costó un siglo ver por qué. La frontera es un fractal, y las tres cuencas no se encuentran por pares a lo largo de vallas: comparten UNA frontera. Es medible: la proporción de celdas de frontera que ven los tres colores se queda en torno a 0,60 y NO cae al afinar la malla de 300 a 900 — con fronteras por pares caería como 1/n. Las áreas también merecen mirada: sobre un disco, que comparte la simetría de 120 grados, cada cuenca toma exactamente un tercio; sobre la ventana cuadrada no, porque las esquinas son de la raíz que apunta a ellas — eso es la ventana, no el método. Tire de una raíz hacia fuera y su propia cuenca SE ENCOGE. Los hilos oscuros son donde el método falla del todo: en el origen la derivada se anula.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones Newton: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = producto de (z − r_i); a = 1 es Newton, y cerca de una raíz simple el error se multiplica por |1 − a| en cada paso dos raíces (Cayley 1879): la frontera es la mediatriz del segmento que las une - una recta; cuadrícula de 600 × 600, 0 puntos en el lado equivocado, 0 sin converger tres raíces: la frontera es un fractal compartido por TODAS las cuencas (Wada); celdas de frontera que ven los tres colores: 0.6194 con 300², 0.5959 con 600², 0.5972 con 900² - constante, mientras que las fronteras entre pares de cuencas caerían como 1/n áreas: sobre un DISCO (que comparte la simetría de 120°) 0.3333 cada una; sobre el cuadrado 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - las esquinas, no el método arrastre: una raíz sacada hasta 1.8 ocupa 0.1819 de la ventana mientras que las dos que quedan atrás ocupan 0.4091 cada una - hacia fuera significa MENOS dimensión de caja de la frontera: ≈ 1.50 medida en una cuadrícula de 900² sobre [−2, 2]², estimaciones por caja 1.53 … 1.58 iteraciones: media 6.84, peor 38, 8 puntos de 160 000 nunca convergen; en el origen p′ = 4.7e-16 y el paso no está definido relajación: a = 0.5 → 632 sin converger de 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → los 90 000, el caso marginal |1 − a| = 1
