Math
Einzugsgebiete des Newton-Verfahrens
Färben Sie jeden Startpunkt nach der Wurzel, die das Newton-Verfahren erreicht: bei zwei Wurzeln ist die Grenze eine Gerade, wie Cayley 1879 bewies, bei drei ein Fraktal, das alle drei Gebiete gemeinsam haben. Ziehen Sie an einer Wurzel und beobachten Sie die Flächen — eine nach außen gezogene Wurzel bekommt WENIGER vom Fenster, nicht mehr.
Was passiert
Newton-Verfahren: irgendwo starten, z ← z − p(z)/p′(z) iterieren, und man landet in einer der Wurzeln. Färbt man jeden Startpunkt nach der erreichten Wurzel, zerfällt die Ebene in Einzugsgebiete. Bei ZWEI Wurzeln ist das Bild langweilig, und Cayley bewies es 1879: die Grenze ist die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke, eine Gerade und nichts sonst — auf einem 600 × 600-Gitter landet kein einziger Punkt auf der falschen Seite. Bei DREI scheiterte Cayley, und es dauerte ein Jahrhundert zu verstehen warum. Die Grenze ist ein Fraktal, und die drei Gebiete treffen sich nicht paarweise entlang von Zäunen: sie teilen sich EINE Grenze. Das ist messbar: der Anteil der Grenzzellen, die alle drei Farben sehen, liegt bei etwa 0,60 und BLEIBT dort, wenn das Gitter von 300 auf 900 verfeinert wird — bei paarweisen Grenzen fiele er wie 1/n. Auch die Flächen lohnen den Blick: über einer Scheibe, die die 120-Grad-Symmetrie teilt, nimmt jedes Gebiet genau ein Drittel; über dem Quadrat nicht, denn die Ecken gehören der Wurzel, die auf sie zeigt — das ist das Fenster, nicht das Verfahren. Ziehen Sie eine Wurzel nach außen, und ihr eigenes Gebiet SCHRUMPFT. Die dunklen Fäden sind, wo das Verfahren ganz versagt: im Ursprung verschwindet die Ableitung.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Newton: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = Produkt der (z − r_i); a = 1 ist Newton, und nahe einer einfachen Wurzel multipliziert sich der Fehler pro Schritt mit |1 − a| zwei Wurzeln (Cayley 1879): die Grenze ist die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke - eine Gerade; Gitter 600 × 600, 0 Punkte auf der falschen Seite, 0 unentschieden drei Wurzeln: die Grenze ist ein Fraktal, das ALLE Einzugsgebiete gemeinsam haben (Wada); Randzellen, die alle drei Farben sehen: 0.6194 bei 300², 0.5959 bei 600², 0.5972 bei 900² - flach, wo paarweise Grenzen wie 1/n fallen würden Flächen: über einer KREISSCHEIBE (die die 120°-Symmetrie teilt) je 0.3333; über dem Quadrat 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - das liegt an den Ecken, nicht am Verfahren Ziehen: eine auf 1.8 hinausgezogene Nullstelle nimmt 0.1819 des Fensters ein, während die beiden zurückgebliebenen je 0.4091 einnehmen - nach außen bedeutet WENIGER Boxdimension des Randes: ≈ 1.50 gemessen auf einem 900²-Gitter über [−2, 2]², Schätzungen pro Box 1.53 … 1.58 Iterationen: Mittel 6.84, schlechtester Fall 38, 8 Punkte von 160 000 konvergieren nie; im Ursprung p′ = 4.7e-16 und der Schritt ist nicht definiert Relaxation: a = 0.5 → 632 unentschieden von 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → alle 90 000, der Grenzfall |1 − a| = 1
