Math
Бассейны метода Ньютона
Раскрась каждую стартовую точку по корню, к которому приходит метод Ньютона: при двух корнях граница — прямая, как доказал Кэли в 1879, при трёх — фрактал, который принадлежит всем трём бассейнам сразу. Потяни корень и смотри, как двигаются площади: корень, оттянутый наружу, забирает МЕНЬШЕ окна, а не больше.
Что происходит
Метод Ньютона: начни где угодно, шагай z → z − p(z)/p′(z), повторяй — и упадёшь в один из корней. Раскрась каждую стартовую точку по корню, к которому она приходит, и плоскость разделится на бассейны. При ДВУХ корнях картина скучна, и Кэли доказал это в 1879: граница — серединный перпендикуляр отрезка между ними, прямая и ничего больше; на сетке 600 × 600 ни одна точка не ушла не на ту сторону. При ТРЁХ Кэли не справился, и понадобился век, чтобы понять почему. Граница — фрактал, и три бассейна не встречаются попарно вдоль заборов: у них ОДНА общая граница. Это измеримо. Посчитай ячейки границы, видящие сразу все три цвета: доля держится около 0.60 и НЕ падает при измельчении сетки с 300 до 900 — а если бы бассейны встречались попарно вдоль обычных кривых, такая ячейка могла бы стоять только у изолированной тройной точки, и доля падала бы как 1/n. Она не падает. Площади тоже стоит смотреть: по диску, который разделяет 120-градусную симметрию корней, каждый бассейн занимает ровно треть; по квадратному окну — нет, потому что углы достаются тому корню, который в них смотрит, и это свойство окна, а не метода. Оттяни корень наружу — его собственный бассейн СЪЁЖИТСЯ, вопреки естественной догадке. Тёмные нити — там, где метод отказывает вовсе: в начале координат производная обращается в ноль, и шагать нечем.
Уравнения модуля
Уравнения Ньютон: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = произведение (z − r_i); a = 1 - это метод Ньютона, а вблизи простого корня ошибка умножается на |1 − a| за шаг два корня (Кэли, 1879): граница - серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему их, то есть прямая; сетка 600 × 600, 0 точек не на той стороне, 0 несошедшихся три корня: граница - фрактал, общий для ВСЕХ бассейнов (Вада); граничные клетки, видящие все три цвета: 0.6194 при 300², 0.5959 при 600², 0.5972 при 900² - ровно, тогда как границы между парами убывали бы как 1/n площади: по КРУГУ (имеющему ту же симметрию 120°) по 0.3333; по квадрату 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - дело в углах, а не в методе перетаскивание: корень, вытянутый до 1.8, занимает 0.1819 окна, а два оставшихся занимают по 0.4091 - наружу значит МЕНЬШЕ клеточная размерность границы: ≈ 1.50, измерено на сетке 900² в области [−2, 2]², оценки для разных размеров клеток 1.53 … 1.58 итерации: в среднем 6.84, худший случай 38, 8 точек из 160 000 так и не сходятся; в начале координат p′ = 4.7e-16 и шаг не определён релаксация: a = 0.5 → 632 несошедшихся из 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → все 90 000, граничный случай |1 − a| = 1
