Math
Bacini del metodo di Newton
Colora ogni punto di partenza secondo la radice raggiunta dal metodo di Newton: con due radici il confine è una retta, come dimostrò Cayley nel 1879, e con tre è un frattale che i tre bacini condividono. Trascina una radice e guarda muoversi le aree: una radice tirata verso l’esterno prende MENO della finestra, non di più.
Cosa succede
Metodo di Newton: parti da dove vuoi, itera z ← z − p(z)/p′(z), e cadrai in una delle radici. Colora ogni punto di partenza con la radice che raggiunge e il piano si divide in bacini. Con DUE radici l’immagine è scialba, e Cayley lo dimostrò nel 1879: il confine è l’asse del segmento che le unisce, una retta e nient’altro — su una griglia 600 × 600 nemmeno un punto cade dalla parte sbagliata. Con TRE Cayley fallì, e ci volle un secolo per capire perché. Il confine è un frattale, e i tre bacini non si incontrano a coppie lungo recinti: condividono UN confine. È misurabile: la quota di celle di confine che vedono tutti e tre i colori resta intorno a 0,60 e NON cala affinando la griglia da 300 a 900 — con confini a coppie calerebbe come 1/n. Anche le aree meritano uno sguardo: su un disco, che condivide la simmetria a 120 gradi, ogni bacino prende esattamente un terzo; sulla finestra quadrata no, perché gli angoli sono della radice che li guarda — è la finestra, non il metodo. Tira una radice verso l’esterno e il suo bacino SI RESTRINGE. I fili scuri sono dove il metodo fallisce del tutto: nell’origine la derivata si annulla.
Equazioni del modulo
Equazioni Newton: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = prodotto di (z − r_i); a = 1 è Newton, e vicino a una radice semplice l'errore si moltiplica per |1 − a| a ogni passo due radici (Cayley 1879): il confine è l'asse del segmento che le congiunge - una retta; griglia 600 × 600, 0 punti dal lato sbagliato, 0 non convergenti tre radici: il confine è un frattale condiviso da TUTTI i bacini (Wada); celle di confine che vedono tutti e tre i colori: 0.6194 con 300², 0.5959 con 600², 0.5972 con 900² - costante, mentre i confini a coppie scenderebbero come 1/n aree: su un DISCO (che condivide la simmetria di 120°) 0.3333 ciascuna; sul quadrato 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - gli angoli, non il metodo trascinamento: una radice tirata fuori fino a 1.8 occupa 0.1819 della finestra mentre le due rimaste ne occupano 0.4091 ciascuna - verso l'esterno significa MENO dimensione per conteggio di riquadri della frontiera: ≈ 1.50 misurata con una griglia 900² su [−2, 2]², stime per riquadro 1.53 … 1.58 iterazioni: media 6.84, peggiore 38, 8 punti su 160 000 non si assestano mai; nell'origine p′ = 4.7e-16 e il passo non è definito rilassamento: a = 0.5 → 632 non convergenti su 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → tutti i 90 000, il caso marginale |1 − a| = 1
