Math
Baseny metody Newtona
Pokoloruj każdy punkt startowy według pierwiastka, do którego dochodzi metoda Newtona: przy dwóch pierwiastkach granica jest prostą, jak dowiódł Cayley w 1879, a przy trzech fraktalem, który wszystkie trzy baseny dzielą. Przeciągnij pierwiastek i patrz, jak zmieniają się pola — pierwiastek odciągnięty na zewnątrz bierze MNIEJ okna, nie więcej.
Co się dzieje
Metoda Newtona: zacznij gdziekolwiek, iteruj z ← z − p(z)/p′(z), a wpadniesz do jednego z pierwiastków. Pokoloruj każdy punkt startowy pierwiastkiem, do którego dochodzi, a płaszczyzna podzieli się na baseny. Przy DWÓCH pierwiastkach obraz jest nudny i Cayley dowiódł tego w 1879: granicą jest symetralna odcinka je łączącego, prosta i nic więcej — na siatce 600 × 600 ani jeden punkt nie trafia po złej stronie. Przy TRZECH Cayley poległ i trzeba było wieku, by zrozumieć dlaczego. Granica jest fraktalem, a trzy baseny nie stykają się parami wzdłuż płotów: dzielą JEDNĄ granicę. To da się zmierzyć: udział komórek granicy widzących wszystkie trzy kolory trzyma się około 0,60 i NIE spada przy zagęszczaniu siatki z 300 do 900 — przy granicach parami spadałby jak 1/n. Pola też warto obejrzeć: na dysku, który dzieli symetrię 120 stopni, każdy basen bierze dokładnie jedną trzecią; na kwadratowym oknie nie, bo rogi należą do pierwiastka, który w nie celuje — to okno, nie metoda. Odciągnij pierwiastek na zewnątrz, a jego własny basen SKURCZY się. Ciemne nici to miejsca, gdzie metoda zawodzi zupełnie: w początku układu pochodna się zeruje.
Równania modułu
Równania Newton: z ← z − a·p(z)/p′(z), p(z) = iloczyn (z − r_i); a = 1 to metoda Newtona, a w pobliżu pierwiastka jednokrotnego błąd mnoży się przez |1 − a| w każdym kroku dwa pierwiastki (Cayley 1879): granicą jest symetralna odcinka łączącego je - linia prosta; siatka 600 × 600, 0 punktów po złej stronie, 0 nieustalonych trzy pierwiastki: granica jest fraktalem wspólnym dla WSZYSTKICH basenów (Wada); komórki graniczne widzące wszystkie trzy kolory: 0.6194 przy 300², 0.5959 przy 600², 0.5972 przy 900² - stałe, podczas gdy granice parami malałyby jak 1/n pola: na DYSKU (który ma symetrię 120°) po 0.3333; na kwadracie 0.3531 / 0.3234 / 0.3234 - winne są rogi, nie metoda przeciąganie: pierwiastek wyciągnięty do 1.8 zajmuje 0.1819 okna, podczas gdy dwa pozostałe zajmują po 0.4091 - na zewnątrz oznacza MNIEJ wymiar pudełkowy brzegu: ≈ 1.50 zmierzony na siatce 900² pokrywającej [−2, 2]², oszacowania dla poszczególnych pudełek 1.53 … 1.58 iteracje: średnio 6.84, najgorzej 38, 8 punktów ze 160 000 nigdy się nie ustala; w początku układu p′ = 4.7e-16 i krok jest nieokreślony relaksacja: a = 0.5 → 632 nieustalonych z 90 000; a = 1 → 0; a = 1.5 → 200; a = 2 → wszystkie 90 000, przypadek graniczny |1 − a| = 1
