Math
Raíces en movimiento
Las raíces de un polinomio en el plano complejo, corriendo mientras un coeficiente barre: las dos raíces de la cúbica se encuentran en el discriminante y abandonan el eje real en pareja, seis raíces giran en un círculo, y las diez raíces de Wilkinson salen despedidas al plano por dos partes por millón en un coeficiente: el par más cercano, el número de reales y la cota de Cauchy medidos en vivo, y una tarea sobre la colisión.
Qué ocurre
Un polinomio de grado n tiene n raíces en el plano complejo, siempre —es el teorema fundamental del álgebra—, y se mueven de forma continua cuando se mueve un coeficiente. Aquí un coeficiente t barre por sí solo desde que se abre el módulo, y las raíces corren por el plano dejando estelas. Para x³ − 3x + t las tres raíces parten de −√3, 0 y √3; al crecer t, dos de ellas se deslizan una hacia la otra por el eje real, se encuentran en t = 2, donde el discriminante 108 − 27t² es cero, y abandonan juntas el eje como par conjugado, imágenes especulares arriba y abajo: como los coeficientes son reales, una raíz compleja nunca viaja sola. Arrastra por el plano para barrer t a mano. La cuártica x⁴ − 5x² + t lo hace dos veces; z⁶ − t mantiene seis raíces en un círculo cuyo radio es la raíz sexta de t. Y el polinomio de Wilkinson, (x − 1)(x − 2)…(x − 10), es la razón por la que los analistas numéricos pierden el sueño: sus raíces son 1 a 10, su coeficiente de x⁹ es −55, y empujar ese coeficiente una diezmilésima —dos partes por millón— lanza las raíces fuera de la recta real más de media unidad. El círculo tenue es la cota de Cauchy: ninguna raíz la abandona jamás. Las raíces se hallan con la iteración de Aberth y se comprueban contra un solucionador independiente.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones cúbica: x³ − 3x + t; discriminante 108 − 27t²; t = 0: −√3, 0, √3; t = 2: −2 y una raíz doble en 1; t = 3: −2.1038 y 1.0519 ± 0.5652i; para |t| < 2 tres raíces reales, más allá un par conjugado en 1 ± i√((t − 2)/3) cerca de t = 2 cuártica: x⁴ − 5x² + t; x² = (5 ± √(25 − 4t))/2; t = 0: 0, 0, ±√5; t = 4: ±1, ±2; t = 6.25: ±1.5811 dos veces circunferencia: z⁶ − t; seis raíces en el radio |t|^(1/6), giradas 30° cuando t < 0 Wilkinson: (x − 1)(x − 2)…(x − 10) + εx⁹, ε = t·10^−5; x⁹ lleva −55, la constante es 10! = 3 628 800; ε = 10^−6 mueve una raíz en 0.013; ε = 10^−4 (dos partes en un millón de −55) vuelve complejas las raíces, |Im| hasta 0.675, desplazamientos hasta 0.90 resolutor: Aberth–Ehrlich desde 0.9 de la circunferencia de Cauchy, con arranque en caliente desde el último fotograma para que cada raíz conserve su estela; comprobado con numpy.roots hasta 10^−6 en el gemelo Cauchy: toda raíz cumple |z| ≤ 1 + max|a_i|/|a_n| tarea: acercar dos raíces de la cúbica a menos de 0.2: |t − 2| < 0.03 (el par está en 1 ± √(|t − 2|/3)); 1.98 da 0.163, 1.95 da 0.259 taller: las raíces arrastradas sobre el plano se convierten en coeficientes por Vieta - Π(x − r_k) desarrollado, conjugadas conservadas, una raíz a menos de 0.03 del eje se ajusta sobre él; Σ r_k = −a_(n−1)/a_n, Π r_k = (−1)^n·a₀/a_n residuo y umbral: |p(z)| frente a 2n·ε·Σ|a_i||z|^i, el error de redondeo de Horner en z; en la raíz real de x³ − 3x + 3: 8.9·10^−16 bajo un umbral de 2.5·10^−14; en la raíz 10 de Wilkinson el umbral es 0.003 sensibilidad: |∂z/∂a_k| = |z|^k / |p′(z)|; Wilkinson: la raíz 10 se mueve 10⁹/9! = 2755.7 por unidad de a₉, la raíz 1 se mueve 2.8·10^−6; condición Σ|a_i||z|^i / (|z||p′(z)|) = 184756 = C(20, 10) en 10, 110 en 1 múltiples: un grupo dentro de 10^−3 se informa como tal; en x³ − 3x + 2 el par en 1 tiene |p′| = 1.1·10^−9 - una raíz doble es infinitamente sensible
