Math
Pierwiastki w ruchu
Pierwiastki wielomianu na płaszczyźnie zespolonej, biegnące, gdy przemiata jeden współczynnik: dwa pierwiastki sześcianu spotykają się na wyróżniku i opuszczają oś rzeczywistą parą, sześć pierwiastków obraca się na okręgu, a dziesięć pierwiastków Wilkinsona wyrzucają w płaszczyznę dwie milionowe jednego współczynnika - najbliższa para, liczba rzeczywistych i ograniczenie Cauchy'ego mierzone na żywo, i zadanie o zderzeniu.
Co się dzieje
Wielomian stopnia n ma n pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej, zawsze - to zasadnicze twierdzenie algebry - i poruszają się one w sposób ciągły, gdy porusza się współczynnik. Tu jeden współczynnik t płynie sam od chwili otwarcia modułu, a pierwiastki biegną po płaszczyźnie, zostawiając ślady. Dla x³ − 3x + t trzy pierwiastki startują z −√3, 0 i √3; gdy t rośnie, dwa z nich suną ku sobie po osi rzeczywistej, spotykają się przy t = 2, gdzie wyróżnik 108 − 27t² jest zerem, i razem opuszczają oś jako para sprzężona, lustrzane odbicia nad i pod nią - współczynniki są rzeczywiste, więc pierwiastek zespolony nigdy nie podróżuje sam. Przeciągnij po płaszczyźnie, by prowadzić t ręką. Kwartyka x⁴ − 5x² + t robi to dwa razy; z⁶ − t trzyma sześć pierwiastków na okręgu o promieniu równym pierwiastkowi szóstego stopnia z t. A wielomian Wilkinsona, (x − 1)(x − 2)…(x − 10), to powód bezsenności numeryków: jego pierwiastki to 1…10, współczynnik przy x⁹ to −55, a poruszenie tego współczynnika o jedną dziesięciotysięczną - dwie milionowe - wyrzuca pierwiastki z prostej rzeczywistej o ponad pół jednostki. Blady okrąg to ograniczenie Cauchy'ego: żaden pierwiastek nigdy go nie opuszcza. Pierwiastki znajduje iteracja Abertha, sprawdzona z niezależnym solverem.
Równania modułu
Równania wielomian sześcienny: x³ − 3x + t; wyróżnik 108 − 27t²; t = 0: −√3, 0, √3; t = 2: −2 i pierwiastek podwójny w 1; t = 3: −2.1038 i 1.0519 ± 0.5652i; dla |t| < 2 trzy pierwiastki rzeczywiste, poza tym para sprzężona 1 ± i√((t − 2)/3) w pobliżu t = 2 wielomian czwartego stopnia: x⁴ − 5x² + t; x² = (5 ± √(25 − 4t))/2; t = 0: 0, 0, ±√5; t = 4: ±1, ±2; t = 6.25: ±1.5811 podwójnie okrąg: z⁶ − t; sześć pierwiastków na promieniu |t|^(1/6), obróconych o 30°, gdy t < 0 Wilkinson: (x − 1)(x − 2)…(x − 10) + εx⁹, ε = t·10^−5; x⁹ ma współczynnik −55, wyraz wolny to 10! = 3 628 800; ε = 10^−6 przesuwa pierwiastek o 0.013; ε = 10^−4 (dwie części na milion z −55) czyni pierwiastki zespolonymi, |Im| do 0.675, przesunięcia do 0.90 metoda: Aberth–Ehrlich z 0.9 okręgu Cauchy'ego, z ciepłym startem od poprzedniej klatki, więc każdy pierwiastek zachowuje swój ślad; sprawdzone względem numpy.roots z dokładnością 10^−6 w bliźniaku oszacowanie Cauchy'ego: każdy pierwiastek spełnia |z| ≤ 1 + max|a_i|/|a_n| zadanie: zbliż dwa pierwiastki wielomianu sześciennego na odległość 0.2: |t − 2| < 0.03 (para leży w 1 ± √(|t − 2|/3)); 1.98 daje 0.163, 1.95 daje 0.259 pracownia: pierwiastki przeciągane po płaszczyźnie stają się współczynnikami według wzorów Viety - rozwinięte Π(x − r_k), sprzężenia zachowane, pierwiastek w odległości 0.03 od osi przyciągany do niej; Σ r_k = −a_(n−1)/a_n, Π r_k = (−1)^n·a₀/a_n reszta i próg szumu: |p(z)| wobec 2n·ε·Σ|a_i||z|^i, błędu zaokrągleń schematu Hornera w z; przy rzeczywistym pierwiastku x³ − 3x + 3: 8.9·10^−16 poniżej progu 2.5·10^−14; przy pierwiastku Wilkinsona 10 próg wynosi 0.003 czułość: |∂z/∂a_k| = |z|^k / |p′(z)|; Wilkinson: pierwiastek 10 przesuwa się o 10⁹/9! = 2755.7 na jednostkę a₉, pierwiastek 1 przesuwa się o 2.8·10^−6; uwarunkowanie Σ|a_i||z|^i / (|z||p′(z)|) = 184756 = C(20, 10) w 10, 110 w 1 wielokrotne: skupisko w obrębie 10^−3 jest zgłaszane jako takie; przy x³ − 3x + 2 para w 1 ma |p′| = 1.1·10^−9 - pierwiastek podwójny jest nieskończenie wrażliwy
