Math
Ein Test und eine Krankheit
Zehntausend Menschen, eine Krankheit und ein Test: Der Test läuft durch die Bevölkerung und markiert die Positiven, dann ordnen sich alle in eine 2×2-Tafel ein - krank oder gesund gegen positiv oder negativ. Schätze, welcher Anteil der Positiven wirklich krank ist, und sieh dir die Schale an: Bei einer seltenen Krankheit sind die falschen zehnmal so viele wie die echten. Die Bayes-Regel mit den Zahlen dieses Blatts, der bewegte Faktor hervorgehoben, die Positiven nachgetestet, und eine Aufgabe, die zeigt: Der Hebel ist die Spezifität, nicht die Sensitivität.
Was passiert
Zehntausend Menschen auf einem Quadrat. Eine Krankheit hat eine Prävalenz, sagen wir einer von tausend. Ein Test hat eine Sensitivität - wie oft er einem Kranken Ja sagt - und eine Spezifität - wie oft er einem Gesunden Nein sagt. Beide 99 %. Die Kranken sind von Anfang an bernsteinfarben: Sie sehen sie, der Test nicht. Der Test fährt Zeile für Zeile über das Quadrat und leuchtet die Positiven an: bernstein, wo er einen Kranken erwischt hat, rot, wo er einen Gesunden markiert hat. Bei zehn Kranken auf dem Quadrat und zehntausend Gesunden sind 1 % der Gesunden hundert - ein positiver Befund heißt also etwa einmal in elf Fällen krank. Das ist die Regel von Bayes, und das Quadrat ist die Regel, gezeichnet: PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)). Ziehen Sie über das Quadrat, und die Prävalenz gleitet logarithmisch; das Diagramm ist der Wert eines Befunds gegen die Prävalenz. Testen Sie die Positiven nach, und die letzte Antwort wird zum neuen Prior - aus 9 % werden 91 %, dann 99,9 %. Die Aufgabe: bei einer Prävalenz von 0,1 % einen positiven Befund zum Münzwurf machen, ohne die Prävalenz anzurühren. Die Sensitivität schafft es selbst bei 100 % nicht; die Spezifität schafft es bei 99,90 %, weil die falschen Befunde von den Gesunden kommen, und davon gibt es tausend auf jeden Kranken.
Gleichungen des Moduls
Gleichungen Quadrat: N = 10 000 Personen, Prävalenz p; krank = pN, gesund = (1 − p)N Test: Sensitivität s = P(positiv | krank), Spezifität q = P(negativ | gesund); richtig Positive s·pN, falsch Positive (1 − q)(1 − p)N, übersehen (1 − s)pN Aussagekraft eines positiven Ergebnisses (Bayes): PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)); selten (p = 0.1 %, s = q = 99 %): 9.0 %; häufig (p = 10 %): 91.7 %; Screening (p = 1 %, s = 80 %, q = 90 %): 7.5 % Wiederholungstest: die Positiven werden erneut getestet, Prior = der letzte PPV; selten → 9.0 % → 90.7 % → 99.9 % das gezogene Quadrat: pro Person eine Ziehung für die Krankheit und eine für den Test durch das gemeinsame xorshift (Seed 1); selten: 13 krank, 13 richtig und 95 falsch Positive (12.0 % in dieser Ziehung, 9.0 % exakt); häufig: 1025 / 1018 / 88; Screening: 101 / 80 / 985 der Hebel: bei p = 0.1 %, s = 99 % braucht ein Münzwurf (PPV 50 %) 1 − q = ps(1 − 0.5)/(0.5(1 − p)), q = 99.90 %; s = 100 % allein ergibt 9.1 %
