Math
Una prueba y una enfermedad
Diez mil personas, una enfermedad y una prueba: la prueba recorre la población y marca los positivos, y luego cada uno pasa a su casilla de una tabla 2×2: enfermo o sano frente a positivo o negativo. Adivina qué parte de los positivos está realmente enferma y mira la bandeja: en una enfermedad rara, los falsos son diez veces más que los verdaderos. La regla de Bayes con los números de esta hoja, el factor que mueves resaltado, los positivos repetidos y una tarea que muestra que la palanca es la especificidad, no la sensibilidad.
Qué ocurre
Diez mil personas en un cuadrado. Una enfermedad tiene una prevalencia: uno de cada mil, digamos. Una prueba tiene una sensibilidad —cuántas veces dice sí a un enfermo— y una especificidad —cuántas veces dice no a un sano—. Ambas del 99 %. Los enfermos son ámbar desde el principio; tú los ves, la prueba no. La prueba barre el cuadrado fila a fila y enciende los positivos: ámbar donde atrapó a un enfermo, rojo donde marcó a un sano. Con diez enfermos en el cuadrado y diez mil sanos, el 1 % de los sanos son cien, así que un positivo significa enfermo una vez de cada once. Esa es la regla de Bayes, y el cuadrado es la regla dibujada: PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)). Arrastra por el cuadrado y la prevalencia barre en escala logarítmica; la gráfica es el valor de un positivo contra la prevalencia. Reexamina los positivos y la última respuesta se convierte en la nueva prior: el 9 % pasa al 91 % y al 99,9 %. La tarea: con una prevalencia del 0,1 %, haz que un positivo valga una moneda sin tocar la prevalencia. La sensibilidad no puede ni al 100 %; la especificidad sí, al 99,90 %, porque los falsos positivos vienen de los sanos, y hay mil por cada enfermo.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones cuadrado: N = 10 000 personas, prevalencia p; enfermos = pN, sanos = (1 − p)N prueba: sensibilidad s = P(positivo | enfermo), especificidad q = P(negativo | sano); verdaderos positivos s·pN, falsos positivos (1 − q)(1 − p)N, no detectados (1 − s)pN valor de un positivo (Bayes): PPV = ps / (ps + (1 − p)(1 − q)); raro (p = 0.1 %, s = q = 99 %): 9.0 %; común (p = 10 %): 91.7 %; cribado (p = 1 %, s = 80 %, q = 90 %): 7.5 % repetición de la prueba: los positivos se vuelven a probar, a priori = el último PPV; raro → 9.0 % → 90.7 % → 99.9 % el cuadrado muestreado: un sorteo para la enfermedad y otro para la prueba por persona mediante el xorshift compartido (semilla 1); raro: 13 enfermos, 13 verdaderos y 95 falsos positivos (12.0 % en este sorteo, 9.0 % exacto); común: 1025 / 1018 / 88; cribado: 101 / 80 / 985 la palanca: con p = 0.1 %, s = 99 %, para llegar a una moneda al aire (PPV 50 %) hace falta 1 − q = ps(1 − 0.5)/(0.5(1 − p)), q = 99.90 %; s = 100 % por sí solo da 9.1 %
