Physics
Pendule de Kapitza
Un pendule dont le pivot vibre vite tient la tête en bas : le potentiel effectif creuse un puits au sommet dès que aω dépasse √(2gl). Changez l'excitation et regardez le puits s'ouvrir et se refermer.
Ce qui se passe
Secouez le pivot d'un pendule de haut en bas assez vite et le pendule tient sur la tête - sans aucun régulateur, tenu par la secousse elle-même. Kapitza l'a expliqué en 1951 par une moyenne : sur une vibration rapide, la tige ressent, en plus de la pesanteur, une poussée qui dépend de la direction où elle pointe, et moyennée sur le cycle cette poussée ajoute au potentiel le terme ¼ m a² ω² sin² φ. Dès que aω dépasse √(2gl), le sommet du potentiel devient un puits, et le pendule oscille lentement autour de la verticale à une fréquence que la moyenne prédit. Le banc ne fait pas confiance à la moyenne. Il intègre l'équation du pendule à travers chaque vibration et tranche la stabilité de façon exacte : il intègre l'équation linéarisée sur une période d'excitation, lit la trace de la matrice de monodromie, et l'équilibre tient quand cette trace est entre −2 et 2. La carte sur le tableau derrière le vibreur est ce test sur toutes les amplitudes et fréquences - elle ne dépend que de a/l et ω/ω₀, une seule carte pour tout banc - avec la ligne de Kapitza tracée à la craie. En haut de la carte, où la vibration est rapide, la ligne et la frontière de Floquet s'accordent à une fraction de pour cent. Plus bas la carte montre ce que la moyenne ne peut pas : des langues sombres où même la position PENDANTE est instable - la résonance paramétrique près du double de la fréquence propre, l'astuce qui fait monter une balançoire en se levant et s'accroupissant en rythme. Le stroboscope dessine le pendule une fois par vibration, et le mouvement lent apparaît sans flou ; le potentiel effectif du panneau porte l'angle lent qui roule dans son puits.
Équations du module
Équations y_p = a sin ωt, φ'' = ((g + y_p'') / l) sin φ − (c / m l²) φ' (angle φ mesuré à partir de la position verticale) V_eff(φ) = m g l cos φ + (1/4) m a² ω² sin² φ (moyenne de Kapitza sur la vibration rapide) un minimum d ' énergie potentielle en position verticale lorsque a ω > √(2 g l); oscillation lente Ω² = (a² ω² / 2 − g l) / l² Floquet : u'' = ±((g − a ω² sin ωt) / l) u sur une période → monodromie M, stable lorsque |tr M| < 2 Forme Mathieu: δ = −4 ω₀² / ω² au sommet, +4 ω₀² / ω² suspendu, q = 2 a / l; l'équilibre suspendu est instable dans les régions d'instabilité proches de ω = 2 ω₀ / n
