Physics
Маятник Капиці
Маятник зі швидко вібруючим підвісом стоїть догори ногами: в ефективному потенціалі нагорі з'являється яма, щойно aω перевищить √(2gl). Змінюйте привід і дивіться, як яма відкривається і закривається.
Що відбувається
Потрусіть підвіс маятника вгору-вниз досить швидко — і маятник стане на голову: його не тримає жоден регулятор, його тримає сама тряска. Капиця пояснив це 1951 року усередненням: за одне швидке коливання стрижень відчуває, крім тяжіння, поштовх, що залежить від того, куди він дивиться, і в середньому за цикл цей поштовх додає до потенціалу член ¼ m a² ω² sin² φ. Щойно aω перевищить √(2gl), вершина потенціалу стає ямою, і маятник повільно коливається біля вертикалі з частотою, яку передбачає усереднення. Стенд усередненню не вірить. Він інтегрує рівняння маятника крізь кожне коливання і вирішує питання стійкості точно: інтегрує лінеаризоване рівняння за один період приводу, читає слід матриці монодромії — і рівновага тримається, коли слід між −2 і 2. Карта на дошці за вібростендом — цей тест за всіма амплітудами й частотами; вона залежить лише від a/l і ω/ω₀, тож одна карта годиться для будь-якого стенда, — і впоперек неї крейдою лінія Капиці. Угорі карти, де вібрація швидка, лінія і межа Флоке сходяться до часток відсотка. Нижче карта показує те, чого усереднення не вміє: темні язики, де нестійке навіть ВИСЯЧЕ положення, — параметричний резонанс поблизу подвоєної власної частоти, той самий трюк із розгойдуванням гойдалки присіданнями в такт. Стробоскоп малює маятник раз за коливання, і повільний рух видно без змазування; ефективний потенціал на панелі несе повільний кут, що котиться у своїй ямі.
Рівняння модуля
Рівняння y_p = a sin ωt, φ '' = ((g + y_p '' ) / l) sin φ − (c / m l²) φ' (кут φ вимірюється з вертикального положення) V_eff(φ) = m g l cos φ + (1/4) m a² ω² sin² φ (середнє значення Капіци за швидкою вібрацією) мінімум потенціальної енергії у вертикальному положенні, коли a ω > √(2 g l); повільне коливання Ω² = (a² ω² / 2 − g l) / l² Флоке: u'' = ±((g − a ω² sin ωt) / l) u протягом одного періоду → монодромія M, стабільна, коли |tr M| < 2 Форма Матю: δ = −4 ω₀² / ω² на вершині, +4 ω₀² / ω² підвішено, q = 2 a / l; підвішена рівновага нестабільна у регіонах нестабільності біля ω = 2 ω₀ / n
