Physics
Pendolo di Kapitza
Un pendolo il cui perno vibra veloce sta a testa in giù: nel potenziale efficace si apre una buca in cima non appena aω supera √(2gl). Cambia l'eccitazione e guarda la buca aprirsi e chiudersi.
Cosa succede
Scuoti il perno di un pendolo su e giù abbastanza in fretta e il pendolo sta sulla testa - non bilanciato da alcun regolatore, ma tenuto dallo scuotimento stesso. Kapitza lo spiegò nel 1951 con una media: in una vibrazione veloce l'asta sente, oltre alla gravità, una spinta che dipende da dove punta, e mediata sul ciclo quella spinta aggiunge al potenziale il termine ¼ m a² ω² sin² φ. Non appena aω supera √(2gl), la cima del potenziale diventa una buca, e il pendolo oscilla lentamente intorno alla verticale con la frequenza che la media prevede. Il banco non si fida della media. Integra l'equazione del pendolo attraverso ogni vibrazione e decide la stabilità nel modo esatto: integra l'equazione linearizzata su un periodo di eccitazione, legge la traccia della matrice di monodromia, e l'equilibrio tiene quando quella traccia sta tra −2 e 2. La mappa sulla lavagna dietro lo scuotitore è questo test su tutte le ampiezze e frequenze - dipende solo da a/l e ω/ω₀, una mappa per ogni banco - con la linea di Kapitza tracciata col gesso. In alto nella mappa, dove la vibrazione è veloce, linea e confine di Floquet concordano a una frazione di percento. Più in basso la mappa mostra ciò che la media non può: lingue scure dove perfino la posizione PENDENTE è instabile - risonanza parametrica vicino al doppio della frequenza propria, il trucco di spingere un'altalena alzandosi e accovacciandosi a tempo. Lo stroboscopio disegna il pendolo una volta per vibrazione, e il moto lento appare senza sfocatura; il potenziale efficace sul pannello porta l'angolo lento che rotola nella sua buca.
Equazioni del modulo
Equazioni y_p = a sin ωt, φ'' = ((g + y_p'') / l) sin φ − (c / m l²) φ'' (angolo φ misurato dalla posizione verticale) V_eff(φ) = m g l cos φ + (1/4) m a² ω² sin² φ (media di Kapitza sulla vibrazione veloce) un minimo di energia potenziale in posizione verticale quando a ω > √(2 g l); oscillazione lenta Ω² = (a² ω² / 2 − g l) / l² Floquet: u'' = ±((g − a ω² sin ωt) / l) u su un periodo → monodromia M, stabile quando |tr M| < 2 Forma di Mathieu: δ = −4 ω₀² / ω² in alto, +4 ω₀² / ω² sospeso, q = 2 a / l; l'equilibrio sospeso è instabile nelle regioni di instabilità vicine a ω = 2 ω₀ / n
