Physics
Маятник Капицы
Маятник с быстро вибрирующим подвесом стоит вверх ногами: в эффективном потенциале наверху появляется яма, как только aω превысит √(2gl). Меняйте привод и смотрите, как яма открывается и закрывается.
Что происходит
Потрясите подвес маятника вверх-вниз достаточно быстро — и маятник встанет на голову: его не держит никакой регулятор, его держит сама тряска. Капица объяснил это в 1951 году усреднением: за одно быстрое колебание стержень чувствует, кроме тяжести, толчок, зависящий от того, куда он смотрит, и в среднем за цикл этот толчок добавляет к потенциалу член ¼ m a² ω² sin² φ. Как только aω превысит √(2gl), вершина потенциала становится ямой, и маятник медленно колеблется около вертикали с частотой, которую предсказывает усреднение. Стенд усреднению не верит. Он интегрирует уравнение маятника через каждое колебание и решает вопрос об устойчивости точно: интегрирует линеаризованное уравнение за один период привода, читает след матрицы монодромии — и равновесие держится, когда след между −2 и 2. Карта на доске за вибростендом — этот тест по всем амплитудам и частотам; она зависит только от a/l и ω/ω₀, так что одна карта годится для любого стенда, — и поперёк неё мелом линия Капицы. Вверху карты, где вибрация быстрая, линия и граница Флоке сходятся до долей процента. Ниже карта показывает то, чего усреднение не умеет: тёмные языки, где неустойчиво даже ВИСЯЧЕЕ положение, — параметрический резонанс вблизи удвоенной собственной частоты, тот самый трюк с раскачкой качелей приседаниями в такт. Стробоскоп рисует маятник один раз за колебание, и медленное движение видно без смазывания; эффективный потенциал на панели несёт медленный угол, катающийся в своей яме.
Уравнения модуля
Уравнения y_p = a sin ωt, φ'' = ((g + y_p'') / l) sin φ − (c / m l²) φ' (φ отсчитывается от верхнего положения) V_eff(φ) = m g l cos φ + (1/4) m a² ω² sin² φ (усреднение Капицы по быстрым колебаниям) Потенциальная яма в верхнем положении при a ω > √(2 g l); медленные колебания: Ω² = (a² ω² / 2 − g l) / l² Флоке: u'' = ±((g − a ω² sin ωt) / l) u за один период → монодромия M, стабильна при |tr M| < 2 Уравнение Матье: δ = −4 ω₀² / ω² для верхнего положения, +4 ω₀² / ω² для нижнего, q = 2 a / l; нижнее положение неустойчиво в языках неустойчивости около ω = 2 ω₀ / n
