Kapitza-Pendel

Was passiert

Rüttle die Aufhängung eines Pendels schnell genug auf und ab, und das Pendel steht auf dem Kopf - von keinem Regler balanciert, sondern vom Rütteln selbst gehalten. Kapitza erklärte es 1951 durch Mittelung: Über eine schnelle Schwingung spürt der Stab neben der Schwerkraft einen Stoß, der davon abhängt, wohin er zeigt, und über den Zyklus gemittelt fügt dieser Stoß dem Potential den Term ¼ m a² ω² sin² φ hinzu. Sobald aω den Wert √(2gl) überschreitet, wird die Spitze des Potentials zur Mulde, und das Pendel schwingt langsam um die Senkrechte, mit einer Frequenz, die die Mittelung vorhersagt. Die Bank traut der Mittelung nicht. Sie integriert die Pendelgleichung durch jede Schwingung hindurch und entscheidet die Stabilität exakt: Die linearisierte Gleichung wird über eine Antriebsperiode integriert, die Spur der Monodromiematrix abgelesen, und das Gleichgewicht hält, wenn diese Spur zwischen −2 und 2 liegt. Die Karte auf der Tafel hinter dem Rüttler ist dieser Test über alle Amplituden und Frequenzen - sie hängt nur von a/l und ω/ω₀ ab, eine Karte für jede Bank - mit Kapitzas Linie darüber gekreidet. Oben auf der Karte, wo die Vibration schnell ist, stimmen Linie und Floquet-Grenze bis auf Bruchteile eines Prozents überein. Weiter unten zeigt die Karte, was die Mittelung nicht kann: dunkle Zungen, in denen selbst die HÄNGENDE Lage instabil ist - parametrische Resonanz nahe der doppelten Eigenfrequenz, der Trick, eine Schaukel durch Aufstehen und Hocken im Takt aufzuschaukeln. Das Stroboskop zeichnet das Pendel einmal pro Schwingung, sodass die langsame Bewegung ohne Unschärfe erscheint; das effektive Potential auf der Tafel trägt den langsamen Winkel, der in seiner Mulde reitet.