Physics
Péndulo de Kapitza
Un péndulo cuyo pivote vibra rápido se sostiene cabeza abajo: el potencial efectivo abre un pozo en la cima en cuanto aω supera √(2gl). Cambia la excitación y mira cómo el pozo se abre y se cierra.
Qué ocurre
Sacude el pivote de un péndulo arriba y abajo lo bastante rápido y el péndulo se sostiene de cabeza - sin ningún regulador, sostenido por la propia sacudida. Kapitza lo explicó en 1951 promediando: durante una vibración rápida la varilla siente, además de la gravedad, un empujón que depende de hacia dónde apunta, y promediado sobre el ciclo ese empujón añade al potencial el término ¼ m a² ω² sin² φ. En cuanto aω supera √(2gl), la cima del potencial se convierte en un pozo, y el péndulo oscila despacio alrededor de la vertical con la frecuencia que predice el promedio. El banco no se fía del promedio. Integra la ecuación del péndulo a través de cada vibración y decide la estabilidad de forma exacta: integra la ecuación linealizada durante un periodo de excitación, lee la traza de la matriz de monodromía, y el equilibrio aguanta cuando esa traza está entre −2 y 2. El mapa del tablero tras el vibrador es esa prueba para todas las amplitudes y frecuencias - solo depende de a/l y ω/ω₀, un mapa para cualquier banco - con la línea de Kapitza dibujada con tiza. Arriba del mapa, donde la vibración es rápida, la línea y la frontera de Floquet coinciden hasta una fracción de por ciento. Más abajo el mapa muestra lo que el promedio no puede: lenguas oscuras donde incluso la posición COLGANTE es inestable - resonancia paramétrica cerca del doble de la frecuencia propia, el truco de impulsar un columpio levantándose y agachándose al ritmo. El estroboscopio dibuja el péndulo una vez por vibración, y el movimiento lento aparece sin desenfoque; el potencial efectivo del panel lleva el ángulo lento rodando en su pozo.
Ecuaciones del módulo
Ecuaciones y_p = a sin ωt, φ'' = ((g + y_p'') / l) sin φ − (c / m l²) φ'' (ángulo φ medido desde la posición vertical) V_eff(φ) = m g l cos φ + (1/4) m a² ω² sin² φ (promedio de Kapitza sobre la vibración rápida) un mínimo de energía potencial en la posición vertical cuando a ω > √(2 g l); oscilación lenta Ω² = (a² ω² / 2 − g l) / l² Floquet: u'' = ±((g − a ω² sin ωt) / l) u durante un período → monodromía M, estable cuando |tr M| < 2 Forma Mathieu: δ = −4 ω₀² / ω² en la parte superior, +4 ω₀² / ω² colgando, q = 2 a / l; el equilibrio colgante es inestable en regiones de inestabilidad cerca de ω = 2 ω₀ / n
