Engineering
Catena e ruote dentate
Muovi con una catena a rulli una ruota dentata da 30 denti partendo da un pignone da 9, 13 o 19 denti e guarda la velocità della ruota condotta oscillare una volta per dente. Poi dai un po’ di gioco alla catena e riparti: il motore va avanti da solo finché il ramo non si tende di scatto.
Cosa succede
Una catena a rulli con passo di 80 mm va da un piccolo pignone motore a una ruota da 30 denti che porta un volano e un freno di carico. Una catena non si avvolge sulla circonferenza primitiva di una ruota dentata, ma sul suo poligono primitivo: il ramo teso parte dal vertice in cui è alloggiato l’ultimo rullo, e mentre la ruota gira di un dente la linea del ramo sale e scende. Così la ruota condotta segue il pignone con il rapporto z₁/z₂ solo in media, e la sua velocità oscilla una volta per dente – l’effetto poligonale. Pochi denti lo peggiorano: con 9 denti il rapporto di velocità oscilla di circa il 7 %, con 19 di meno del 2 %. Il ramo teso porta la coppia di carico divisa per il raggio primitivo della ruota condotta; il ramo lento non porta nulla. Dai un po’ di gioco alla catena: all’avvio il motore gira libero finché il ramo non si tende, e allora il ramo strattona il volano con un picco di tensione.
Modello: ruote dentate rigide; ogni ramo libero è un tratto rettilineo, privo di massa ed elastico tra i suoi rulli d’estremità, che tira ma non spinge mai, e i rulli si alloggiano e si staccano uno alla volta. Nessuna freccia, massa delle maglie o urto dei rulli; il ramo lento è disegnato pendente.
Da provare
Confronta l’oscillazione con 9, 13 e 19 denti; poi dai gioco alla catena, riparti e osserva il picco di tensione.
Equazioni del modulo
Equazioni R = p / (2 sin(π/z)) ω₂/ω₁ ≈ z₁/z₂ Δω/ω ≈ 1 − cos(π/z₁) F = T₂/R₂
