Math
Congettura di Collatz
Metà se pari, triplo più uno se dispari: ogni partenza cade a uno, e nessuno sa perché - il volo di un numero, il paesaggio dei tempi di arresto fino a 4096 e la stessa regola con 3n − 1 e 5n + 1, che ciclano e scappano.
Cosa succede
Una regola: dimezza il numero se è pari, triplicalo e aggiungi uno se è dispari, e ripeti. Ogni partenza che qualcuno abbia provato cade a uno - 27 sale a 9232 al passo 77 e atterra al 111 - e nessuno ha dimostrato che lo facciano tutte. La scena del volo traccia il cammino di un numero passo dopo passo in scala logaritmica, una testa luminosa che sale ai passi dispari (arancio) e scende ai dimezzamenti (oro), con i due vicini come fantasmi: 26 atterra in dieci passi, 28 in diciotto, 27 in centoundici. La scena del paesaggio distende il tempo totale di arresto di ogni numero fino a 4096 come un terreno di barre luminose: i primatisti - ognuno richiede più passi di ogni partenza minore - si accendono in rosso, l'ultimo è 3711 con 237 passi; clicca una barra per leggerla. La media è 75, il tempo di arresto più comune 43, e l'adattamento contro ln n ha pendenza 11 e intercetta negativa, sopra l'euristica asintotica 2/ln(4/3) = 6.95: in media un passo dispari moltiplica per 3/2 e un dimezzamento segue per forza, quindi ogni coppia costa un fattore 3/4 - la deriva è verso il basso, ed è tutta la ragione per cui la congettura è creduta e niente della dimostrazione. La scena delle regole cambia la costante: sessanta voli ciascuna, colorati per sorte. 3n + 1 manda a casa tutte le prime mille partenze. 3n − 1 ha due cicli in più, per 5 e per 17, e 651 delle prime mille finiscono in uno di essi. 5n + 1 ha deriva 5/4 verso l'alto: 833 delle prime mille schizzano oltre 2^60, fuori dal grafico in alto, e il 7 da solo impiega 719 passi.
Equazioni del modulo
Equazioni regola: n → n/2 (n pari), n → 3n + 1 (n dispari); tempo di arresto totale = passi per arrivare a 1; 27: 111 passi, picco 9232 al passo 77, 41 passi dispari e 70 dimezzamenti; 26: 10 passi, 28: 18, 97: 118 (di nuovo picco 9232), 871: 178 (picco 190996) deriva: un passo dispari dà 3n + 1 ≈ 3n/2 dopo il dimezzamento che deve seguire, quindi una coppia dispari e poi pari costa in media un fattore 3/4, e una traiettoria con k passi dispari richiede più di k·log₂3 = 1.585 k dimezzamenti per scendere; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, come deve essere per arrivare a 1 panorama fino a 4096: detentori del record (ognuno richiede più passi di ogni partenza minore): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 passi); media 75.13; tempo di arresto più frequente 43 (87 partenze); minimi quadrati: tempo di arresto ≈ 11.12 ln n − 6.22 su 2 … 4096; pendenza euristica (asintotica) 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1: prime mille partenze: 349 arrivano a 1, 651 in un ciclo - passando per 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 partenze) oppure per 17 (18 elementi, 345 partenze); picco più alto di un arrivo 132860 5n + 1: deriva 5/4 > 1; prime mille partenze: 81 arrivano a 1, 86 in un ciclo - passando per 13 (63) oppure per 17 (23) - e 833 superano 2^60; il solo 7 impiega 719 passi per superare 2^60; picco più alto di un arrivo 1170496
