Math
Hipoteza Collatza
Parzyste na pół, nieparzyste potrój i dodaj jeden: każdy start spada do jedynki i nikt nie wie dlaczego - lot jednej liczby, krajobraz czasów zatrzymania do 4096 i ta sama reguła z 3n − 1 i 5n + 1, które zapętlają się i uciekają.
Co się dzieje
Jedna reguła: liczbę parzystą podziel na pół, nieparzystą potrój i dodaj jeden, i powtarzaj. Każdy start, jaki ktokolwiek próbował, spada do jedynki - 27 wspina się do 9232 w kroku 77 i ląduje w kroku 111 - i nikt nie udowodnił, że spada każdy. Scena lotu rysuje drogę jednej liczby krok po kroku w skali logarytmicznej, świecąca głowa wspina się na krokach nieparzystych (pomarańczowych) i spada przy połowieniach (złotych), a dwaj sąsiedzi idą jako duchy: 26 ląduje w dziesięć kroków, 28 w osiemnaście, 27 w sto jedenaście. Scena krajobrazu rozkłada całkowity czas zatrzymania każdej liczby do 4096 jako teren świecących słupków: rekordziści - każdy potrzebuje więcej kroków niż każdy mniejszy start - świecą na czerwono, ostatni z nich 3711 z 237 krokami; kliknij słupek, by go odczytać. Średnia to 75, najczęstszy czas zatrzymania 43, a dopasowanie wobec ln n biegnie z nachyleniem 11 i ujemnym wyrazem wolnym, powyżej asymptotycznej heurystyki 2/ln(4/3) = 6.95: średnio krok nieparzysty mnoży przez 3/2 i musi po nim nastąpić połowienie, więc para kosztuje czynnik 3/4 - dryf jest w dół, i to cały powód, dla którego w hipotezę się wierzy, a nie żaden dowód. Scena reguł zmienia stałą: po sześćdziesiąt lotów, pokolorowanych według losu. 3n + 1 odsyła do domu cały pierwszy tysiąc startów. 3n − 1 ma dwa dodatkowe cykle, przez 5 i przez 17, a 651 z pierwszego tysiąca kończy w jednym z nich. 5n + 1 ma dryf 5/4 w górę: 833 z pierwszego tysiąca wystrzeliwują poza 2^60, ponad górną krawędź wykresu, a sama siódemka potrzebuje na to 719 kroków.
Równania modułu
Równania reguła: n → n/2 (n parzyste), n → 3n + 1 (n nieparzyste); całkowity czas zatrzymania = liczba kroków do osiągnięcia 1; 27: 111 kroków, szczyt 9232 w kroku 77, 41 kroków nieparzystych i 70 dzieleń na pół; 26: 10 kroków, 28: 18, 97: 118 (znowu szczyt 9232), 871: 178 (szczyt 190996) dryf: krok nieparzysty daje 3n + 1 ≈ 3n/2 po następującym po nim dzieleniu na pół, więc para: krok nieparzysty, potem parzysty, kosztuje średnio czynnik 3/4, a lot z k krokami nieparzystymi potrzebuje więcej niż k·log₂3 = 1.585 k dzieleń na pół, by zejść w dół; 3^41 / 2^70 = 0.031 < 1/27, jak być musi, by wylądować na 1 krajobraz do 4096: rekordziści (każdy potrzebuje więcej kroków niż każdy mniejszy start): 1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711 (237 kroków); średnia 75.13; najczęstszy czas zatrzymania 43 (87 startów); metoda najmniejszych kwadratów: czas zatrzymania ≈ 11.12 ln n − 6.22 dla 2 … 4096; nachylenie heurystyczne (asymptotyczne) 2/ln(4/3) = 6.95 3n − 1: wśród pierwszego tysiąca startów: 349 kończy na 1, 651 w cyklu - przez 5 (5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5, 306 startów) albo przez 17 (18 elementów, 345 startów); najwyższy szczyt wśród lądujących 132860 5n + 1: dryf 5/4 > 1; wśród pierwszego tysiąca startów: 81 kończy na 1, 86 w cyklu - przez 13 (63) albo 17 (23) - a 833 przekracza 2^60; samo 7 potrzebuje 719 kroków, by przekroczyć 2^60; najwyższy szczyt wśród lądujących 1170496
